(共22张PPT)
第1章 直角三角形
1.2 第1课时 勾股定理
这个会徽的设计基础是1700多年前，中国古代数学家赵爽的弦图，是为了证明勾股定理而绘制的。经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会的会标。
新课导入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，通过朋友铺地的成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
A
B
C
我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？
A
B
C
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
讲授新课
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
问题3 如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.
图1-9
我量得c为5.
在方格纸上， 以图1-9 中的Rt△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积S1， S2 ， S3 之间有什么关系呢？
图1-10
由图1-10 可知， S1 = 32， S2 = 42 ，为了求 S3 ， 我可以先算出红色区域内大正方形的面积， 再减去4 个小三角形的面积， 得 S3 = 52.
∵ 32 + 42 = 52，
∴ S1 + S2 = S3 .
在图1-10 中， S1 + S2 =S3 ， 即BC2 +AC2 =AB2 ，
那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
图1-10
如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C= 90°， 若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2 + b2 = c2是否成立呢？
图1-11
让我们来进行研究.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1
让我们跟着我国汉代数学家赵爽,用他所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2
毕达哥拉斯证法，请先用手中四个全等的直角三角形按图示方法拼图，然后分析其面积关系进行证明.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
直角三角形两直角边a，b 的平方和，等于斜边c的平方.
a2+ b2 = c2
知识归纳
直角三角形的性质定理（勾股定理）
a
b
c
勾
股
弦
强调：
勾股定理反映了直角三角形的三边关系.
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图），因此这一性质被称为勾股定理.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.
勾
股
弦
c2=a2 +b2
a
b
c
b2= c2 - a2
a2= c2 - b2
灵活运用公式
变式运用：
例题讲解
例1 如图1-15， 在等腰三角形ABC 中， 已知AB = AC = 13 cm， BC = 10 cm， AD⊥BC 于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？
A
B
C
图1-15
D
故AD的长为12cm.
在Rt△ADB中，由勾股定理得
AD2+BD2 =AB2 ，
解：在△ABC中，
∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC，
∴ BD = = 5.
∴
15
16
随堂演练
4
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结(共15张PPT)
第1章 直角三角形
1.2 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
新课导入
观看下边的视频，思考为什么鱼缸要斜着搬？
解：连接AC，在Rt△ABC中根据勾股定理：
问题 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
1m
2m
A
B
C
D
在解决视频中的问题之前，先思考下边的这个问题：
讲授新课
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙角B的距离为1.5m,准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙角移近0.5m，即移动到C'处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
动脑筋
由图1-16抽象出示意图（右图）.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A'BC中，计算出A'B,则可得出梯子往上移动的距离为（A'B-AB）m.
A’
B
C
C’
梯子
墙面
地面
A
因此A'A = 3.87 - 3.71 = 0.16 （m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m， 而不是向上移动0.5 m.
在Rt△ABC中， AC = 4 m， BC = 1.5 m，
由勾股定理得，
在Rt△A'BC'中， A' C'= 4 m， BC'= 1 m，
故
例1 (“引葭赴岸”问题)“今有方池一丈葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何 ”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一棵芦苇生长在池的中央,其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边直的方向拉向岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少
例题讲解
分析 根据题意,先画出水池截面示意图,如图，设AB为芦苇,BC为芦苇出水部分,即1尺,将芦苇拉向岸边,其顶部B点恰好碰到岸边B'.
解：如图1-18,设水池深为x尺,
则AC=x尺,AB=AB'=(x+1)尺.
因为正方形池塘边长为10尺,所以B'C=5尺.
在Rt△ACB'中,根据勾股定理,得
x2+52= (x+1)2
解得 x=12.
则芦苇长为13尺.
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
例2 [教材P13T1变式题] 如图1-2-6,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上.
(1)求A处与小岛C之间的距离;
(2)若渔船航行方向不变,从B处继续航行多
长时间与小岛C的距离最近 最近距离是多少
图1-2-6
【归纳总结】
构造直角三角形解决实际问题的基本思路
(1)通过作垂线构造直角三角形,把所求线段转化为直角三角形的边计算,体现了转化的数学思想.
(2)符合构造直角三角形的图形的常见特征:
图形中含有30°,45°,60°,120°等特殊角.
2
不合格
随堂演练
18米
运用勾股定理解决实际问题的基本思路
课堂小结(共16张PPT)
第1章 直角三角形
1.2 第3课时 勾股定理的逆定理
知识回顾
1.勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2＋b2＝c2
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 ： 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，
可不可以通过边来确定直角三角形呢？
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.
你知道为什么吗？
情景导入
活动1：下列三组数据分别是一个三角形的三边
（1）3cm、4cm、5cm；
（2）9cm、12cm、15cm；
（3）5cm、12cm、13cm.
问题:
（1）这三组数都满足 吗
（2）分别以每组数中的前两边为直角边作直角三角形，试计算斜边.
讲授新课
猜想:
如果三角形的三边长是a、b、c，满足 ，
那么这个三角形是 .
（3）通过以上实验，你能得到什么启发
直角三角形
下面我们通过严谨的证明来说明该命题的正确
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
A
C
a
B
b
c
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
在△ABC和△A′B′C′中，
A
C
a
B
b
c
如果三角形的边长a、b、c，满足 ，
那么这个三角形是直角三角形。
知识归纳
直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）
a
b
c
勾股定理与其逆定理的区别：
勾股定理：
勾股定理的逆定理：
由直角三角形定三边关系
由三边关系定直角三角形
例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
(1) a=6 ， b=8 ，c=10;
分析 根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.
(2) a=12 ，b=15 ，c=20.
例题讲解
解:(1)∵62+82=100,102=100，
∴62+82=102,
∴这个三角形是直角三角形.
(2)∵122+152=369,202=400,
122+152≠202,=
∴这个三角形不是直角三角形.
像6，8，10这样，满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．
【归纳总结】用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤
解：在△ABD中,AB=10,BD=6,AD=8,
∵62+82=102
即AD2+BD2=AB2
∴△ADB为直角三角形.
∴∠ADB=90°
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.
在Rt△ADC中,
DC2=AC2-AD2
∴DC=
例2 如图1-21，在△ABC中已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.
B
90°
随堂演练
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
应用
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
课堂小结
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
