(共13张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 第1课时 角平分线的性质定理
1、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
复习导入
2、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
P
A
B
O
PO的长度
讲授新课
如图1-26,在∠AOB的平分线C上任取点P,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗
将∠AOB沿OC对折,我发现PD与PE重合,即PD与PE相等
你能证明吗
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
几何语言描述：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
O
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
D
P
E
角平分线的性质定理：
如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？
O
E
B
A
D
P
分析：
只要画射线OP，证明OP平分∠ AOB即可。
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？
C
∟
∟
探究
证明：过点O,P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中
∴ OC是∠AOB的平分线，
PD= PE,
OP=OP.
∴ Rt△ PDO≌Rt △ PEO（HL）
O
E
B
A
D
P
C
∟
∟
∴∠AOC=∠BOC
即点P在∠AOB的平分线OC上.
用几何语言表示为：
P
A
O
B
C
E
D
1
2
由此得到角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵PD=PE
PD ⊥OA ，
PE ⊥OB
∴∠1= ∠2.
即点P∠AOB的平分线OC上.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
A
B
O
P
D
E
1
2
如图，PD⊥OA，PE⊥OB
点P在∠AOB的
平分线上
PD=PE
性质定理：
判定定理：
例题讲解
例1 如图， ∠BAD=∠BCD=90° ，∠1=∠2
（1）求证:点B在∠ADC的平分线上；
（2）求证:BD是∠ABC的平分线.
A
D
B
C
思考：AC被BD垂直平分吗？
证明：(1)在△ABC中，
∵∠1=∠2，
∴BA=BC.
又∵BA⊥AD, BC⊥CD,
∴点B在∠ADC的平分线上.
∟
∟
(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD;
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)
∴∠ABD=∠CBD.
∴BD是∠ABC的平分线.
例2 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= °，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
随堂演练
E
D
C
B
A
6
8
10
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，
DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.(共11张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 第2课时 角平分线性质定理的综合应用
复习导入
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.
角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
点在角平分线上 点到角两边的距离相等
1.角平分线的性质定理：
2.角平分线的判定定理:
3.性质定理和逆定理的关系
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
如图，EF⊥CD, EF⊥AB, MN⊥AC,M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM,AM分别 是∠ACD和∠CAB的平分线呢
∟
∟
∟
C
D
A
B
E
F
M
N
分析：可添加条件MN=ME(或MN=MF)
∵ ME⊥CD, MN⊥CA,
∴ 点M在∠ACD的平分线是，
即CM是∠ACD的平分线.
同理可得AM是∠CAB的平分线.
讲授新课
例1 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB, PF⊥AC,垂足分别为点E, F. 试探索BE+PF与PB的大小关系.
F
A
P
B
E
C
D
∟
∟
解：∵ AP是∠DAC的平分线,
又PE⊥DB, PF⊥AC,
∴ PE=PF.
在△EBP中，
BE+PE>PB,
∴BE+PF>PB.
例题讲解
例2 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
A
B
C
分析：因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点，点P也在∠C的平分线上.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
例3 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D
P
M
N
A
B
C
F
E
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
随堂演练
2.如图,OP是∠AOB的平分线,点P到OA的距离PE=3,N是OB上的任意一点,则线段PN长的取值范围为 ( )
A.PN<3 B.PN>3
C.PN≥3 D.PN≤3
3.如图，OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列判断错误的是( )
A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP
C
D
4. 如图,AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线,且AP,CP交于点P,PD⊥BM于点D,PE⊥BN于点E.求证:BP是∠MBN的平分线.
过点P作PF⊥AC于点F.
∵AP平分∠MAC,PD⊥BM,PF⊥AC,
∴PD=PF(角平分线的性质).
同理PE=PF,
∴PD=PE.
又∵PD⊥BM,PE⊥BN,
∴点P在∠MBN的平分线上,
∴BP是∠MBN的平分线.
证明:
