2021-2022沪科版九年级数学下册 24.4.2切线的性质与判定课件 (共25张PPT)

(共25张PPT)
第24章
圆
九年级数学沪科版·下册
24.4.2切线的性质与判定
授课人：XXXX
教学目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点）
3.能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.（难点）
复习导入
情境引入
砂轮上打磨工件时飞出的火星
右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
新知探究
切线的性质
一
问题1 直线与圆有哪些位置关系？
温故知新
r
d
∟
r
d
∟
r
d
相交
相切
相离
我们学习过哪些判断切线的方法？
两个交点
一个交点
没有交点
d＜r
d=r
d＞r
新知探究
问题2 如图，若直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？请说明理由.
∟
r
d
A
T
O
反证法：假设AT与OA不垂直，
则过点O作OM⊥AT,垂足为M.
根据垂线段最短，得OM＜OA，
即圆心O到直线AT的距离d＜r，
∴直线AT与⊙O 相交，
这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA.
M
新知探究
知识要点
A
l
O
∵直线l是☉O的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
新知探究
例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O相交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
新知探究
在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.
∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
(2)在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ，
解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
新知探究
切线的判定
二
O
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
观察与思考
相等
互相垂直，平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.
新知探究
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为☉O的半径
BC⊥OA于点A
BC为☉O的切线.
O
A
B
C
切线判定定理
应用格式
知识要点
新知探究
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判一判
新知探究
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切.
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
新知探究
例2 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
新知探究
例3 如图，AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：AB是☉O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是☉O的半径,
∴ AB是☉O的切线.
新知探究
例4 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O与AB 相切于E.求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
新知探究
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE＝OF.
∵OE 是☉O 半径，
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是☉O的切线．
又OE⊥AB ，OF⊥AC.
新知探究
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连切点，得垂直.
切线的其它重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
方法归纳
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小测
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( )
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过半径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
×
课堂小测
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
A
P
O
第2题图
P
O
第3题图
D
A
B
C
相切
C
课堂小测
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
课堂小测
证明：连接OP.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂小测
拓展提升：
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图①，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是
（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图
图
①
②
课堂小测
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径，∠D+ ∠DAC=90 °.
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B.
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴DA⊥EF
∴EF是☉O的切线.
D