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1.4.2 三角形的内角平分线 教案
课题 1.4.2 三角形的内角平分线 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形 三条角平分线的特殊位置关系及性质.2.进一步提升运用角平分线性质和其判定解决实际问题的能力.3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
重点 掌握三角形三条角平分线的性质定理，并能够进行证明.
难点 角平分线的判定定理和性质定理的综合应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 【小组讨论】如图所示，某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.你能解决这个问题吗？在练习本上任意画出一个三角形画出三角形三条角平分线。你发现了什么？三角形的三条角平分线相交于一点.分别过交点作三角形三边的垂线，你能发现什么？过交点作三角形三边的垂线段相等.综上你能得出什么结论？三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.怎样证明上面的结论？例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A 的平分线经过点P，且PD = PE = PF.证明：∵ BM是△ABC 的角平分线， 点P在BM上，∴ PD=PE. 同理，PE = PF.∴ PD=PE=PF.∴ 点P在∠A的平分线上即∠A的平分线经过点 P.【总结归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.几何语言：在△ABC 中，∵ BM，CN，AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴BM，CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF. 思考自议类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证,并尝试完成证明过程. 通过一道实际问题,自然地引出对三角形角平分线性质的探究,通过类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性,使学生初步感受数学对象之间的相互联系体验,从而找出解
讲授新课 二、提炼概念比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理三、典例精讲 【例3】如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（1）已知CD=4 cm，求AC的长；解析：求AC的长可转化为求BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的长即可。要证AB=AC+CD，转化为证明AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，∴ DE=CD=4 cm，∵ AC=BC，∴ ∠ B=∠ BAC（等边对等角）.∵ ∠ C= 90 ° ，∴ ∠ B=×90 °=45 ° .∴ ∠ BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .∴ BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形 BDE 中，BD = = cm（勾股定理）.∴ AC = BC = CD + BD =（4 +）cm.（2）求证：AB=AC+CD.证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵ BE = DE = CD，∴ AB = AE + BE = AC + CD. 学生根据所学知识解决问题。 培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂检测 四、巩固训练 1. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 ( )A.点O一定在△ABC的内部B.∠C的平分线一定经过点OC.点O到△ABC三边的距离一定相等 D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等D2．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm. 若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是( )A．22 cm2 B．25 cm2 C．28 cm2 D．56 cm2C3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.（2）解：AB＋AC＝2AE.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6, ∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, ∴OD的长为2.
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.问题2、你还有哪些收获呢？答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.
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北师大版 八年级下
1.4.2 三角形的内角平分线
情境引入
新知导入
【小组讨论】如图所示，某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.
你能解决这个问题吗？
想一想：你还记得用尺规作角平分线的过程吗？
已知： ∠AOB.
求作：射线OC,使OC是∠AOB的平分线.
A
B
O
C
E
D
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
（2）分别以点D和E为圆心,以大于 DE长
为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
（3）作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
在练习本上任意画出一个三角形
画出三角形三条角平分线。
你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点.
分别过交点作三角形三边的垂线，你能发现什么？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
综上你能得出什么结论？
怎样证明上面的结论？
通过刚才的作图，我们发三角形三个角的平分线交于一点.类比之前三角形三边垂直平分线的交点的性质，三角形角平分线的交点到三个顶点距离相等吗？它又有什么特殊性吗？
如何证明：三角形的角平分线交于一点并且到三边距离相等这一结论呢？
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
合作学习
导入新课
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
提炼概念
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
三角形角平分线定理
符号语言：
∵如图，在△ABC中，∠B 、∠C的平分线相交于点P， 过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F
∴ ∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.
比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三
角
形 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
交于三角形内一点
交于三角形外一点
交于斜边的中点
交于三角形内一点
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三条边的距离相等
典例精讲
例3 如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知CD=4 cm，求AC的长；
（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE=CD=4 cm，
∵ AC=BC，∴ ∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵ ∠C= 90 °，∴ ∠B= ×90 °=45 °
∴ ∠BDE = 90 °- 45 ° = 45 ° .
∴ BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = = cm（勾股定理）.
∴ AC = BC = CD + BD =（4 + ）cm.
例3 如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵ BE = DE = CD，
∴ AB = AE + BE = AC + CD.
归纳概念
性质定理的运用
角平分线
判定定理的运用
用于证明两个角相等
一条射线是一个角的角平分线
一个点在一条射线上
证明两条线段相等
用于几何作图
课堂练习
1. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 ( )
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC三边的距离一定相等
D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等
D
2．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm. 若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是( )
A．22 cm2
B．25 cm2
C．28 cm2
D．56 cm2
C
3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.
(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
解：AB＋AC＝2AE.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF
＝AE＋AE＝2AE.
课堂练习
4. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6,
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,
∴OD的长为2.
课堂总结
三角形的内角平分线
性质
三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用
判断一个点是否在角的平分线上；
解决实际问题
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.4.2 三角形的内角平分线 学案
课题 1.4.2 三角形的内角平分线 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形 三条角平分线的特殊位置关系及性质.2.进一步提升运用角平分线性质和其判定解决实际问题的能力.3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
重点 掌握三角形三条角平分线的性质定理，并能够进行证明.
难点 角平分线的判定定理和性质定理的综合应用.
教学过程
导入新课 【引入思考】 【小组讨论】如图所示，某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.你能解决这个问题吗？操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.锐角三角形 直角三角形 钝角三角形你发现了什么： 。 分别过交点作三角形三边的垂线，你能发现什么？例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A 的平分线经过点P，且PD = PE = PF.【总结归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
新知讲解 提炼概念比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理典例精讲 【例3】如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（1）已知CD=4 cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.
课堂练习 巩固训练1. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 ( )A.点O一定在△ABC的内部B.∠C的平分线一定经过点OC.点O到△ABC三边的距离一定相等 D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等2．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm. 若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是( )A．22 cm2 B．25 cm2 C．28 cm2 D．56 cm23．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度. 答案引入思考 答案：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.例2 证明：∵ BM是△ABC 的角平分线， 点P在BM上，∴ PD=PE. 同理，PE = PF.∴ PD=PE=PF.∴ 点P在∠A的平分线上即∠A的平分线经过点 P.提炼概念典例精讲 例3（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，∴ DE=CD=4 cm，∵ AC=BC，∴ ∠ B=∠ BAC（等边对等角）.∵ ∠ C= 90 ° ，∴ ∠ B=×90 °=45 ° .∴ ∠ BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .∴ BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形 BDE 中，BD = = cm（勾股定理）.∴ AC = BC = CD + BD =（4 +）cm.（2）求证：AB=AC+CD.证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵ BE = DE = CD，∴ AB = AE + BE = AC + CD.巩固训练1.D2.C3.（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.（2）解：AB＋AC＝2AE.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.4.解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6, ∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, ∴OD的长为2.
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.问题2、你还有哪些收获呢？答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.
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