2.3.2 平行线的性质与判定的综合运用 课件 (共31张PPT)

(共31张PPT)
旧知回顾
问题1：判别直线平行的条件有哪几个？
你现在一共有几个判定直线平行的方法？
问题2：平行线的性质有哪几条？
问题3：在应用二者时应注意什么问题？
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
旧知回顾
如图1，若a∥b，b∥c，则a∥c.
如图2，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
平行于同一条直线的两条直线平行.
垂直于同一条直线的两条直线平行.
a
b
c
图1
a
b
c
图2
3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合运用
学习目标
进一步掌握平行线的性质，能够根据平行线的性质与判定进行简单的推理与计算.
新知探究
1. 平行线的性质的几何符号语言
探究：如图，因为AB∥CD，
所以∠1＝____( ).
因为AB∥CD,
所以∠3＝____( ).
因为AB∥CD,
所以_________=180°(_____________________________).
∠2
∠2
两直线平行，同位角相等
∠4＋∠2
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，内错角相等
新知探究
2. 如图：（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
BF∥CE
内错角相等，两直线平行
BF∥AM
同位角相等，两直线平行
AC∥MD
同旁内角互补，两直线平行
新知探究
【归纳】
由角相等或互补(数量关系)得到两条直线平行(位置关系)，
这是平行线的条件；
由两条直线平行(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)，
这是平行线的性质.
【点拨】
平行线的条件与性质是互逆关系，解答题目时一定要区分开！
新知探究
知识点训练：平行线的性质
例：如图，AC∥BD，AE平分∠BAC 交BD于点E.
若∠1=64°，求∠2的度数.
解：由图可知∠1+∠BAC =180°，
由∠1=64°，从而求得∠BAC= 116°，
再由AE平分∠BAC，可得∠CAE =58°，
由AC∥BD，可得∠2+∠CAE =180°，
从而求得∠2=180°-58°=122°.
新知探究
【规律总结】
解决已知两直线平行，求角的关系的问题的基本思路
(1)直接法：找图中的同位角、内错角、同旁内角，进而判断它们的关系 .
(2)间接法：如果没有上述角,通过添加辅助线，构造平行线，得三类角，进而求解 .
例1 根据下图所示，回答下列问题：
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
典型例题
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ BF∥CE（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠2=∠M（已知）
∴ AM∥BF（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠2 +∠3=180°（已知）
∴ AC∥MD（同旁内角互补，两直线平行）
例2 如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
典型例题
∵∠1=∠2（已知），
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）.
又∵AB∥CD （已知），
∴ EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）．
例3 如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3的度数.
典型例题
∵a∥b （已知），
∴∠2=∠1=107°（两直线平行，内错角相等）.
∵ c∥d （已知），
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠3= 180°-∠1=180°-107°=73°.
1.著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜. 目前，它与地面所成的较小的角为85°（如图所示），它与地面所成的较大的角是多少度？你的依据是什么？
深化提高
1
2
a
b
∵a∥b（已知），
∴∠1＝85°（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠1+ ∠2＝180° （已知），
∴∠2＝180°-∠1=95°.
2.如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为( 　)
A．40°
B．20°
C．60°
D．70°
深化提高
解：∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
∵∠B＝20°（已知），
∴∠C＝∠B＝20°（两直线平行，内错角相等）.
B
3.如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°， 则∠4的度数是(　　)
A．35° B．70°
C．90° D．110°
深化提高
D
解：∵∠1=∠2 （已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠5 （两直线平行，同位角相等）.
∵∠3=70° （已知），
∴∠5=70° （等量代换），
∴∠4=180°-70°=110°（邻补角互补）.
例4 一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面 AE，则∠ABC＋∠BCD＝______°．
典型例题
解：过B作BF∥AE，
∵ CD∥AE， BF∥AE（已知）
∴CD∥BF（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠BCD＋∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，
∴∠ABF =90°，
∴∠ABC＋∠BCD=90°＋180°=270°.
270
思考：∠ABC＋∠BCD+∠BAE＝______°.
360
聚焦模型
如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）如图1 ，∠1＋∠2＝______；
（2）如图2 ，∠1＋∠2＋∠3＝_____；
A
B
C
D
1
2
图1
B
A
E
C
D
1
2
3
图2
180°
360°
测量-猜想-验证
证明：过E作EF∥AB，
∵ AB∥CD，EF∥AB （已知）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠CEF＋∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵ EF∥AB （已知），
∴∠AEF＋∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ∠CEF＋∠AEF=∠2
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝ 360°.
F
“铅笔模型”
（3）如图3 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ；
（4）如图4 ，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…∠n= ；
如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）如图1 ，∠1＋∠2＝______；
（2）如图2 ，∠1＋∠2＋∠3＝_____；
A
B
C
D
1
2
图1
B
A
E
C
D
1
2
3
图2
180°
360°
聚焦模型
B
A
E
C
D
F
1
2
4
3
图3
2
E
B
A
C
D
N
1
n
图4
540°
180°（n-1）
从特殊到一般
F
如图，如果AB ∥CD，请探索∠A 、∠C、∠E的关系，并说明理由.
聚焦模型
A
B
C
D
E
∠E = ∠A +∠C
F
证明：过E作EF∥AB，
∵ AB∥CD，EF∥AB （已知）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠CEF=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵ EF∥AB （已知），
∴∠AEF= ∠A （两直线平行，内错角相等）
∵ ∠AEC=∠CEF＋∠AEF
∴ ∠AEC= ∠A + ∠C.
“猪脚模型”
1．如图，直线 a//b//c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．
若∠1=35°，则∠2=　　．
55°
95°
模型应用
2．如图，AB ∥CD，∠B=120°，∠D=145°，则∠BED =　　．
课堂小结
条件 结论
判定直线平行
平行线的性质
同位角相等
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等
两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
条件
性质
条件：角的关系 线的关系
性质：线的关系 角的关系
课堂小结
B
课堂小测
2 . 如图,在三角形ABC中,∠A=∠B.
(1)请你添加一个与直线AB相关的条件,由此可推得CE是∠ACD的平分线(只添加条件,不说理由);
(2)请你添加一个与∠A有关的条件,由此可推得CE是∠ACD的平分线(要写出理由).
课堂小测
解：(1)添加EC∥AB.
(2)添加∠A=∠ACE,则CE是∠ACD的平分线.理由如下:
因为∠A=∠ACE(已知),
所以EC∥AB(内错角相等,两直线平行)，
所以∠B=∠DCE(两直线平行,同位角相等).
又因为∠A=∠B(已知),
所以∠ACE=∠DCE(等量代换)，
即CE是∠ACD的平分线(角平分线的定义) .
课堂小测
3 . 如图所示，小张从家(图中A处)出发，向南偏东40°的方向走到学校(图中B处)，再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家(图中C处)，试问∠ABC为多少度？
解：由题意得：DB∥AE，
所以∠DBA=∠EAB=40°.
又因为∠CBD=75°,
所以∠ABC=∠CBD-∠DBA=75°-40°=35°.
课堂小测
课堂小测
课堂小测
课堂小测
谢谢
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