天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题

2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。考试结束后，将II卷答题卡和选择题答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．复数（其中为虚数单位）的虚部等于( 　 )
A． B． C． D．
2. 是的（ 　 ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 　D．既不充分也不必要条件
3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，
则输出的的值是（ 　 ）
A． B． C． D．
4. 若展开式中的系数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线右支
上存在一点满足且，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． 　 C． D．
6. 在中，内角所对的边分别为，其中，
且面积为,则( )
A. 　 B. C. D.
7. 在平行四边形中，,连接、相交于点，
若,则实数与的乘积为（ 　 ）
A． B． C． D．
8.已知函数,
,设函数，
且函数的零点均在区间内，则的最小值为（ ）
A． B． 　 C． D．
2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科）
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共３页，用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上．
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
请把答案填在答题卡的相应的横线上.
9.某工厂生产三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为，
现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，
那么此样本容量 ．
10.右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积
大小为 .
11. 已知，，，
则的大小关系为 ．
12. 己知集合，
若，则实数等于 .
13. 直线（极轴与轴的非负半轴重合，
且单位长度相同），若直线被圆截得的弦长为，则实数的值为 .
14. 设函数为坐标原点，图象上横坐标为的点，向量的夹角，
满足的最大整数是 .
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本题满分13分）
已知函数，．求：
(I) 求函数的最小正周期和单调递增区间；
(II) 求函数在区间上的值域．
16．（本题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，
在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题．
答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
17.（本题满分13分）
如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，
且,设、分别为、的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面；
(Ⅱ) 求证：面平面；
(Ⅲ) 求二面角的正切值．
18．(本题满分13分）已知数列的前项和为，且，
数列满足，且点在直线上．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
19. (本题满分14分) 设椭圆的左、右焦点分别为，
上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于
椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线
与椭圆交于两点，线段的中垂线
与轴相交于点，求实数的取值范围．
20． (本题满分14分) 设函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学答案（理科）
一．选择题： B C D A C D B C
二、填空题：
9． 10． 11．
12． 13． 或 14．
三、解答题
15．已知函数，.求：
(I) 求函数的最小正周期和单调递增区间；
(II)求函数在区间上的值域．
【解】(I)：
　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴最小正周期， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∵时为单调递增函数
∴的单调递增区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
(II)解: ∵，由题意得: ∴，
∴，∴
∴值域为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
16. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每次考试每人必须从备选的道题中
随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，
乙只能答对其中的道题．答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
【解】设乙的得分为，的可能值有 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．5分
乙得分的分布列为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
所以乙得分的数学期望为　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
(2) 乙通过测试的概率为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
甲通过测试的概率为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
甲、乙都没通过测试的概率为
因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 ．．．．．．．．．13分
17．如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,
侧面底面，且,
若、分别为、的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面；
(Ⅱ) 求证：面平面；
(Ⅲ) 求二面角的正切值．
法一：(Ⅰ)证明：为平行四边形
连结，为中点，
为中点∴在中//　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且平面，平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)证明：因为面面　平面面　
为正方形，，平面
　所以平面　∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又，所以是等腰直角三角形，
且　　　即 ．．．．．．．．．．．．．．．6分
　，且、面　　
面 ．．．．．．．．．．．．７分
又面　　面面．．．．．．．8分
(Ⅲ) 【解】：设的中点为,连结,,
则由(Ⅱ)知面,　
，面，，
是二面角的平面角 ．．．．．．．．．．．12分
中，　
　故所求二面角的正切值为 ．．．．．．．．．．．13分
法二：如图,取的中点, 连结,.
∵, ∴.
∵侧面底面,
,
∴,
而分别为的中点,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,
则有,,,,,.
∵为的中点, ∴ .．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅰ）证明：易知平面的法向量为而,
且, ∴ //平面 .．．．．．．．．．．．．．6分
(Ⅱ)证明：∵, ∴,
∴,从而,又,,
∴,而,
∴平面平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
(Ⅲ) 【解】：由(Ⅱ)知平面的法向量为.
设平面的法向量为.∵,
∴由可得,令,则,
故∴,
即二面角的余弦值为, .．．．．．．．．．．．．．12分
所以二面角的正切值为 .．．．．．．．．．．．．．13分
18． 已知数列的前项和为，且，
数列满足，且点在直线上．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
【解】（Ⅰ）当， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
当时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴ ，∴是等比数列，公比为2，首项
∴ ．．．．．．．．．．．．．．．3分
又点在直线上，∴ ，
∴是等差数列，公差为2，首项，∴ ．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）∴
∴ ①
②
①—②得
．．．．．．．．．．7分
．．．．．．．．．．．．．．．8分
．．．．．．．．．．．．．9分
（Ⅲ） ．．．．．．．．．．．．．．．11分

．．．．．．．．13分
19．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，
在轴负半轴上有一点，满足，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线
的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆
交于两点，线段的中垂线与轴上相交于点，求实数的取值范围
【解】（Ⅰ）连接，因为，，所以，
即，故椭圆的离心率 ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（其他方法参考给分）
（Ⅱ）由（1）知得于是, ，
的外接圆圆心为），半径．．．．．．．．．．．．5分
到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得 ．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所求椭圆方程为. ．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, ：
代入消得
因为过点，所以恒成立
设，则，
中点 ．．．．．．．．．．．．．．．10分
当时，为长轴，中点为原点，则 ．．．．．．．．．．．．．．．11分
当时中垂线方程．
令， ．．．．．．．．．．．．．．．12分
，， 可得 ．．．．．．．．．．．．．．13分
综上可知实数的取值范围是． ．．．．．．．．．．．．．．14分
20.设函数， ．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果存在，使得成立，
求满足上述条件的最大整数；
（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【解】（Ⅰ），， ．．．．．．．1分
①，函数在上单调递增 ．．．．．．．．．．．．．．．．2分
②，，函数的单调递增区间为 ．．．．．3分
，函数的单调递减区间为 ．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）存在，使得成立
等价于：，．．．．．．．．．．．．．．．．5分
考察， ， ．．．．．．．．．．．．．．．6分
递减
极（最）小值
递增

．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由上表可知：，
， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以满足条件的最大整数； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（Ⅲ）当时，恒成立
等价于恒成立， ．．．．．．．．．．．11分
记，所以
， 。
记，，
即函数在区间上递增，
记，，
即函数在区间上递减，
取到极大值也是最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
另解，，
由于，,
所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，
在区间上递减， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以，所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．14分