(共12张PPT)
第7章 一次方程组
7.2.3 二元一次方程组的应用
情景导入
《孙子算经》大约产生于一千五百年前，现在传本的《孙子算经》共三卷，其中卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，书中是这
样叙述的：
“今有雉兔同笼，上有三十五
头，下有九十四足，问雉兔各几
何？”
例题讲解
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
[解析] 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的办法来解答．
粗加工天数＋精加工天数＝15天；
粗加工任务＋精加工任务＝140吨．
解：设安排x天精加工，y天粗加工.
根据题意列出方程 解得
则所获利润：
2 000×6×10+1 000×16×5=200 000（元）.
x+y=15，
6x+16y=140.
x=10，
y=5.
归纳小结
用方程(组)解实际问题的过程:
问题
方程(组)
解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)审题，分析题目中的已知量和未知量;
(2)找相等量关系;
(3)设未知数，列方程(组).
(4)解方程（组），检验.
(5)写出答案.
随堂演练
1.[2019·宁波模拟] 某加工厂有工人50名,生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺母刚好配套 设应安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则所列方程组为 ( )
B
2.小洪买了80分和60分的邮票共17枚,花了12.2元,则80分和60分的邮票各买了多少枚
3.去年夏天,某市遭受罕见的水灾,“水灾无情人有情”,某单位给该市某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.求饮用水和蔬菜各有多少件.(共16张PPT)
第7章 一次方程组
7.2.1 用代入法解二元一次方程组
课程回顾
某校现有校舍20 000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，则应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？
怎样解这个方程组呢？
获取新知
（1）我们解一元一次方程的步骤是什么？
去分母、移项、合并同类项、系数化为1
（2）观察对比，一元一次方程4x- x=20 000×30%与
二元一次方程组
二者有什么关系？
把二元一次方程组中的②式代入①式，即得一元一次 方程.
（3）能否把二元一次方程变为一元一次方程，其关键是什么？
（4）怎样才能比较容易让某个未知数消失呢？
把“二元”变为“一元”.
观察
方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中y也可以看成4x，即将②代入①
y ＝4x
y －x＝20000×30%，
可得 4x－x＝20000×30%.
3x=6000 x=2000
再把x=2000代入②，可得y=8000
例题讲解
例1 解方程组
①
②
x+y=7
3x+y=17
你还能像上面那样利用代入消元法求未知数吗？
这里没有一个未知数用另一个未知数表示的形式
观 察：
方程①可以变形为y=7-x ③ ，可把y看作7-x，因此，方程②中y也可以看成7-x，即将③代入②
y ＝7-x ③
3x+ y ＝17②
可得 3x+ 7-x＝17
3x-x=17-7 2x=10 x=5
再把X=5代入变形后的③，可得 y=2
★求方程组解的过程叫做：解方程组
★要检验所得结果是不是原方程组的解，应把这对 数值代入原方程组里的每一个方程进行检验
除了以上办法外，还有没有其他办法？
（1）方程①中能否改为用y表示x？
（2）方程②中能否改为用x表示y？
（3）方程②中能否改为用y表示x？
探究：将几种表示方法都解答出来，相互比较.
想一想
选择二元一次方程组中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数，然后代入另一个方程中消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，从而求出二元一次方程组解的方法称为代入消元法.
代入消元法
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是:
②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③把这个未知数的值代入代数式(回代) ，求得另一个未知数的值；
④写出方程组的解。
①将方程组中一个方程变形，使得一个未知数能含有另一个未知数的代数式表示；
例题讲解
例2 解方程组
3x-5y=6，①
x+4y=-15. ②
解：由②得x=-15-4y.③
把③代入①得3(-15-4y)-5y=6，解得y=-3.
把y=-3代入③得x=-3.
所以
验证所得结果是否为方程组的解.
代入法解方程组,方程组中你选取哪一个方程变形？
选取的原则是：
1、选择未知数的系数是1或 - 1 的方程；
2、若未知数的系数都不是1或 - 1 ，选系数的绝对值较小的方程。
选择代入方程
随堂演练
A
D
3.解方程组:
解:
2x+7y=5 ①
3x+y=-2 ②
由②得y=-2-3x.③
把③代入①,得2x+7(-2-3x)=5,
∴x=-1,
将x=-1代入③,得y=1,
∴方程组的解为
x=-1
y=1
课堂小结
解二元一次方程组
代入消元法
步骤
代入求值
变形
写解(共20张PPT)
第7章 一次方程组
7.2.2 用加减法解二元一次方程组
复习导入
上节课我们学了利用一个未知数表示另一个未知数，然后带入消元法解方程，你会做吗？
解方程组：
这两个方程中未知数的系数都不是1，
怎么办？
把②变形得 代入①，不就消去x了!
①
②
③
将③带入②，得
解得y=-0.8
将y=-0.8代入③，得
即
所以
你还有其他方法吗？
例题讲解
解方程组：
例1
解方程组：
3x+5y=5，①
3x-4y=23.②
问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
问题2：除了代入消元，你还有别的方法消去x吗？
问题3：这样做的理论依据是什么？
两个方程两边分别对应相减，就可以消去x得到一个一元一次方程.
未知数x的系数相同
把两个方程的两边分别相减，就消去了x, 得到
9y=-18
即 y=-2
把y=-2 代入①，得3+5×(-2)=5.
解得 x=5.
这样，我们求得了一对x、y的值. 显然，
是原方程的解.
解法3
你觉得哪种方法更好？
解方程组：
3x+7y=9，①
4x-7y=5.②
可以将两个方程相加消去y.
互为相反数
问题1：这个方程组中未知数y的系数有什么特点？
问题2：除了代入消元法，还有别的方法消去y吗？
例2
解方程组：
3x+7y=9，①
4x-7y=5.②
对某些二元一次方程组，可以通过将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法.
能直接用加减消元法求解二元一次方程组的前提是什么？
两个二元一次方程组中同一未知数的系数相反或相等.
归纳概括
利用加减消元法解方程组时,在方程组的两个方程中:
(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接
(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接
把这两个方程中的两边分别相加，
把这两个方程中的两边分别相减,
消去这个未知数;
消去这个未知数;
问题：这个方程组的x、y的系数绝对值不相同，也不是整数倍，那怎么用加减消元法来解答？
解方程组：
例3
例题讲解
x = 6.
即
19x = 114,
① ×3,得
② ×2,得
9x - 12y = 30,
10x +12y = 84.
③+ ④,得
3x - 4y = 10,
5x+6y = 42.
②
①
即
所以
x= 6,
y= 2.
把x=6代入②,得
y= 2.
5×6+6y = 42,
30+6y = 42,
6y = 42-30,
6y = 12,
消去y
-4和+6符号相反：采用加法消元，最小公倍数为12
思考：能否通过加减消元法消去x来解方程组？
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程 (注意：一般在消去一个字母时，考虑用另一个字母系数大的式子减系数小的式子)；
(3)解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解．
试一试
你能用加减消元法解前面这道题吗？
随堂演练
1.解方程组
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)
由①+②,得4x=4,解得x=1.
将x=1代入①,得y=0.
所以原方程组的解为
(2)
由①-②,得2x-5y-2x-3y=7+1,
即-8y=8,
解得y=-1.
将y=-1代入①,得2x-5×(-1)=7,
解得x=1.
所以方程组的解为
(3)
由②×3,得9x+3y=24,③
由①+③,得14x=56,解得x=4.
把x=4代入①,得y=-4.
所以原方程组的解为
(4)
由①×2,得2x+4y=-4,③
③+②,得9x=-45,解得x=-5.
将x=-5代入③,得2×(-5)+4y=-4,解得y=.
所以原方程组的解为
课堂小结
解二元一次方程组
加减消元法
步骤
加减求值
化某个未知数的系数相等或互为相反数
写解
