10.1 相交线
教材分析
我们平时见到的纵横交错的直线条组成的许多图形中,都可以抽象成相交直线与平行直线,相交直线是平面内两条直线的两种位置关系中的一种情形,这部分内容在小学已经学习过。学生在七年级上册又学习了直线、射线、线段与角等相关知识,基于学生已有的认知基点,本节课进一步探究平面内两条直线的相交情况,先由生活中的铁轨图片抽象出相交线,然后探究两直线相交所成的角的位置和大小关系,在此基础上给出对顶角的描述性定义,进而得出“对顶角相等”这一性质。
二、学情分析
学生在学习本内容之前已经学习了直线、角、互补等简单的几何知识,对图形语言、文字语言和符号语言有了一些浅显的认识,有待通过本章的学习进一步体会和掌握。
教学目标
在具体的情境中了解对顶角,理解并掌握对顶角的性质。
可以根据“对顶角相等”的性质解决相关的计算题及相关的实际问题。
进一步体会对图形语言、文字语言、和符号语言的认识。
教学重难点
教学重点:对顶角概念,对顶角性质。
教学难点:对顶角性质的探索过程。
教学方法
问题情景--------独立思考----------合作探究教学法
教学过程
情景导入
用课件播放铁轨纵横交错的图片展示我们生活的空间,蕴藏大量的相交线与平行线。
问题:如果把每根铁轨看成直线,你发现了什么图形?
学生:相交线、平行线。
好的,今天我们就一起来研究相交线。
设计意图 借助同学们熟悉的生活图片,吸引学生们的注意力,并从中发现相交线,渗透从实物中抽象出简单几何图形的意识,学生的思维由具体引向抽象。
引出概念
问题1:既然两条交错的铁轨可以看成是相交线,请同学们画出相交线,并描述你画出的图形。
学生:如图1,直线AB、CD相交于点O。
问题2:在图2中,你发现了哪些角?
问题3:∠1和∠2这两个位置上有什么关系?∠1和∠3这两个角位置上有什么关系?先独立思考后,再在小组里交换意见。
学生直观地感知∠1和∠2“相邻”,∠1和∠3“相对”。
教师抓住时机引导学生:已知一个角,画出与它“相对”的另一个角,从而引导学生发现
∠AOC与∠BOD有公共点O,而且∠熬出的两边分别是∠BOD两边的反向延长线。至此,可以得出对顶角的两个重要特征:(1)有公共顶点,(2)它们的两边分别互为反向延长线。
对顶角特征:(1)有公共顶点,(2)它们的两边分别互为反向延长线。(板书)
对顶角:如果两个角有一个公共顶点,并且它们的两边分别互为反向延长线,那么这样的两个角叫做对顶角。(多媒体展示)
总结:对顶角是成对出现的,只有当两直线相交时,才能产生对顶角。
设计意图:由实际问题引导学生初步感知相交线形成的角及其特点,同时明确本节课要学习的内容。首先通过观察,然后让同学们画出两直线相交的图形,引导学生分析图形中角与角之间的位置关系,再引导学生概括描述对顶角的特征,教师及时引导总结两条直线相交才能产生对顶角,培养学生的归纳概括能力和严密的数学表达能力。
巩固概念
判断:如图3所示,各图中∠1与∠2是否为对顶角,并说明理由。
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
答案:
不是,因为这两个角没有公共顶点;
不是,因为这两个角不满足两边分别互为反向延长线;
不是,因为这两个角不满足两边分别互为反向延长线;
不是, 因为这两个角不满足两边分别互为反向延长线;
是;(要强调是在两条直线相交的前提下)
不是;因为这两个角没有公共顶点。
设计意图 本题直接取之于教材 ,考查学生运用对顶角的特征去辨别对顶角,及时理解巩固所学的知识。
操作观察、继续探究
问题:
如图4所示,如果我们把剪刀的两片刀刃边沿看成是两条相交线,这里有对顶角吗?
请你猜一猜,剪刀剪东西的过程中,如图5,∠1和∠2这两个角的大小保持怎样的关系?
你的结论是怎样得到的?
图4 图5
探究结果:
有对顶角,如∠1与∠2;
在剪刀剪东西过程中,∠1与∠2始终保持相等;
因为直线AB与直线CD相交于点O,所以∠1+∠BOC=180°,∠2+∠BOC=180°
所以∠1=∠2(同角的补角相等)
由此可得到性质:对顶角相等。
设计意图 通过操作观察让学生直观地感知对顶角相等,再进一步启发学生去测量验证和逻辑推理证明,最终得到对顶角的性质,这种探究问题的方法是数学学习中重要的方法之一,也就是说,知识产生的过程必须要让学生亲身经历并完整体会。
尝试应用、反馈矫正
练习1 如图6所示,两直线相交,∠1=35°,求∠2和∠3的度数。
∵∠1=35°
∴∠2=35°(对顶角相等)
又∵∠1+∠3=180°,
∴∠3=145°(补角的定义)
C B
图6 图7
练习2 如图7所示,直线AB、CD相交与点O,OE平分∠BOD,∠AOC=40°,求∠BOE和∠AOE的度数。
∵∠AOC=40°,
∴∠BOD=40°(对顶角相等)
又∵OE平分∠BOD,
∴∠BOE=∠BOD=20°(角平分线的性质)
又∵∠BOE+∠AOE=180°(补角的定义)
∴∠AOE=180°-∠BOE=160°。
设计意图
与已学知识联系,使数学知识系统化。
练习3 课外拓展:
观察图8,请你与同学合作寻找对顶角,探究出其中的规律,填入下表中。
交于一点的直线的条数 2 3 4
对顶角的对数
设计意图 同时渗透列举和数形结合等数学思想。
反思总结、观点提炼
问题:本节课你有哪些收获?还有哪些疑问?还想进一步探究的问题是什么?
学生应在三维目标上谈收获。
设计意图:
A
D
O
4
2
1
D
C
A
B
O
3
C
B
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
C
B
A
D
3
E
D
A
1
2