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18.1 平行四边形的性质与判定
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图所示，直线a∥b，另有一条直线l与直线a，b分别交于点A，B，若将直线l作平移运动，则线段AB的长度（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大或变小要看直线l平移的方向
2．在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是 （ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
4．如图所示，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
5．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连结BD.若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC
6．在 □ABCD中， ，则 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，不需借助三角形全等，就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB= DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD
9．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
10．如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为( )
A．30 B．25 C．22.5 D．50
11．如图所示，在 ABCD中，AC，BD相交于点О，过点О作线段EF分别交AD，BC于点E，F，那么图中全等的三角形共有( )
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
12．如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，有下列结论:①BE=DF，②BE∥DF，③AB=DE;④四边形EBFD为平行四边形;⑤ ;⑥ .其中正确结论的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．如图，已知线段AB=6，分别以端点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，点C，D在直线MN上，连结AC，CB，BD，DA．若点E，F分别是AC和AD的中点，且CD=8，则△BEF的面积是
14．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，CD＝10，AE＝4，则EF＝ .
15．如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是 .
16．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=DE，AB=10，BC=8，则四边形BCFD的周长为 .
17．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点， ，则AD的长是 .
18．如图， □ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 □ ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 .
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
20．如图，在线段AD上有两点E，F，且AE=DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB∥CD.求证：四边形BECF是平行四边形。
21．如图所示，在 中，AE，AF分别为BC，CD上的高，且 .求 各内角的度数.
22．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
23．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°。
求证：四边形AECF是平行四边形。
24．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
25．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
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18.1 平行四边形的性质与判定
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，
∴AB∥A'B'，
又a∥b，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∴A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
故答案为：C.
【分析】设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，先证出四边形ABB'A'是平行四边形，得出A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C
∵∠A：∠B=7：2
∴∠A=140°
∴∠C=140°
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠A=∠C，然后结合∠A：∠B=7：2可得∠A的度数，进而可得∠C的度数.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCDS是平行四边形，
∴∠AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠BAD=180°，∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠BAD=180°-58°=122°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=61°，
∴∠AEC=180°-61°=119°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠D+∠BAD=180°，∠DAE+∠AEC=180°，再根据角平分线的定义得出∠DAE=61°，即可得出∠AEC=119°.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别为AP和PR的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF=AR，
∵A、R两点为顶点，
∴线段AR为定长，
∴线段EF的长不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理得出EF=AR，由于线段AR为定长，则可得出
线段EF的长不变，即可作答.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE为△ABC为中位线，
∴DE=BC，即BC=2BE，DE∥BC，
∵∠EDB=∠DBC，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴EB=ED，
∴EA=EB=ED，
∴∠A=∠ADE，∠DBE=∠EDB，
∵∠A+∠ADE+∠DBE+∠EDB=180°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∵AD=DC，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵ED∥BC，
∴∠EDA=∠C，
∴∠A=∠EDA.
综上，正确的有BC=2BE，∠A=∠EDA，BD⊥AC .
故答案为：C.
【分析】根据中位线定理得出BC=2BE，DE∥BC，然后求出EA=EB=ED，根据等腰三角形的性质求出∠ADB=90°；再证明BD为AC的垂直平分线，得出BA=BC，从而得出∠A=∠C，再根据平行线的性质得出∠EDA=∠C，即可推出∠A=∠EDA；即可作答.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°×=140°，
∴∠C=∠A=140°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠A=∠C，则由平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，再根据比的的关系求∠A，从而得出∠C的度数.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，取AC和BD的交点为O，
由作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】取AC和BD的交点为O，根据作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，然后根据平行线四边形判定定理即可作答.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或是梯形，故C符合题意；
D、∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的定义和判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB=4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∴EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：过P作PG⊥AB于G，
∵S平行四边形ABCD＝AB×PG＝100，
S△ABP＝AB×PG＝50，
∴S△ADP+S△BCP=100 50＝50，
∵E、F分别是线段PA、PB的中点，
∴△ADE的面积为△ADP面积的一半，△BCF的面积为△BCP面积的一半，
∴图中阴影部分的总面积=（S△ADP+S△BCP）=×50=25.
故答案为：B.
【分析】过P作PG⊥AB于G，利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可推出S△ADP+S△BCP=50；再利用E、F分别是线段PA、PB的中点，可知阴影部分的面积为（S△ADP+S△BCP），代入计算可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，OA=OC，OB=OD
∴∠AEO=∠CFO
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
同理可证△ABC≌△CDA；
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SSS）；
同理可证△AOD≌△BOC；
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS）；
同理可证△DOE≌△BOF；
一共有6对全等三角形.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，利用平行线的性质可推出∠AEO=∠CFO；利用SSS可证得△ABD≌△CDB，同理可证△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC；利用AAS可证得△AOE≌△COF，同理可证△DOE≌△BOF；可得到图中全等三角形的数量.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：设AC，BD交于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
四边形BEDF是平行四边形，故④正确；
∴BE=DF，故①正确；
∴BE∥DF，故②正确；
AB不一定等于DE，故③不符合题意；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE，故⑤正确；
∵△ABC≌△ADC，
∴AC边上的高相等即点B和点D到AC边上的距离相等，
∴S△ADE=S△ABE，故⑥正确；
∴正确结论的序号为：①②④⑤⑥，一共5个.
故答案为：C.
【分析】设AC，BD交于点O，利用平行四边形的性质可证得OA=OC，OB=OD，由AE=CF，可证得四边形BEDF是平行四边形，可对④作出判断；同时可推出AF=CF，可对⑤作出判断；利用平行四边形的性质可推出BE=DF，BE∥DF，可对①②作出判断；AB不一定等于DE，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可得到AC边上的高相等即点B和点D到AC边上的距离相等，由此可推出S△ADE=S△ABE，可对⑥作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】9
【解析】【解答】解：如图，AO与EF交于点H，与CO交于点O，
由题中已知作图方法可知，CD垂直平分AB，
∴CD⊥AB，OA=OB=AB=×6=3，
∵点E，点F分别是AC和AD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF=CD=×8=4，EF∥CD，
∴EF⊥BH，
又∵EH∥CO
∴EH为△AOC的中位线，
∴AH=HO=AO=×3=1.5，
∴BH=BO+HO=3+1.5=4.5，
∴ S△BEF=EF·BH=×4×4.5=9.
故答案为：9.
【分析】由题中已知作图方法可知，CD垂直平分AB，求得CD⊥AB，OA=OB=3，再由点E，点F分别是AC和AD的中点，可推出EF为△ACD的中位线，得出EF=4，EF∥CD，进而得EF⊥BH；易证明EH为△AOC的中位线，得出AH=HO=1.5，进而求出BH=4.5，最后根据三角形面积公式，代入数据即可求出其面积.
14．【答案】6
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
；
， ，
，
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠AFB=∠FBC，根据角平分线的概念可得∠ABF=∠FBC，推出AB=AF，然后根据EF=AF-AE=AB-AE=CD-AE进行计算.
15．【答案】4
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，DF＝BC，
∴DF//BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）.
故答案为：4.
【分析】根据三角形的中位线定理得DF//BC，DF＝BC，易得BE＝BC，推出DF＝BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形BEFD是平行四边形，则BD＝EF，利用SSS证明△BDE≌△FED，△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，得到S△DEF＝S△ABC，据此计算.
16．【答案】26
【解析】【解答】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，BD=AB=5，
∵DE=EF，
∴DE+EF=DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴四边形BCFD的周长为 ：2(BD+DF)=2(5+8)=26.
故答案为：26.
【分析】根据中点的定义和三角形中位线的定理得出DE∥BC，DE=BC，BD=AB，结合DE=EF，推出四边形DBCF是平行四边形，从而得出四边形BCFD的周长为 ：2(BD+DF)，最后代值计算即可.
17．【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∵点E是CD的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴AD=2OE=4.
故答案为：4.
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，从而得出OE为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理可得AD=2OE，从而得解.
18．【答案】14
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
又OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴BE+AE=ED+AE=AD，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故答案为：14.【分析】根据平行四边形的性质得出OB=OD，结合OE⊥BD，得出OE是BD的垂直平分线，则可得到BE=ED，从而把△ABE的周长转化为AB+AD，结合平行四边形的周长，即可解答.
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,
∴,
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
∴AB=CF,
∵AB=DC
∴DC=CF
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出AB=CD，∠B=∠FCE，∠F=∠BAE，根据线段中点的定义得出BE=CE，利用AAS证出△ABE≌△FCE，得出AB=CF，即可得出DC＝CF.
20．【答案】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∠AEB=∠BEF=∠AFC=∠CFD=90°
BE∥CF
∵AB∥CD，∴∠A=∠D.
在△AEB与△DFC中.
△AEB≌△DFC（ASA）
BE=CF
又∵BE∥CF
四边形BECF是平行四边形。
【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行得出BE∥CF，再利用ASA证出△AEB≌△DFC，得出BE=CF，然后根据平行四边形的判定定理，即可得出四边形BECF是平行四边形.
21．【答案】解：∵ 分别为BC，CD上的高，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD各内角的度数分别为140°，40°，140°，40°.
【解析】【分析】 由三角形高的定义，先求出 ，再根据四边形的内角和求出∠C的度数，然后根据平行四边形的性质，分别求出 的其他内角即可.
22．【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
23．【答案】证明：∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∠ABE=∠CDF，
△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【解析】【分析】利用内错角相等，两直线平行，可证得∠ABE=∠CDF；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得AE=CF，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
24．【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
25．【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
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