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18.2 矩形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、对角线相互平分可以判定平行四边形，A选项不符合题意；
B、两组对边相等可以判定平行四边形，B选项不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定为矩形，C选项不符合题意；
D、对角线相等且平分的四边形为矩形，可知对角线的交点到四个顶点距离是否相等，可判断四边形是否为矩形，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形为矩形；有三个角是直角的四边形为矩形；对角线相等且平分的四边形为矩形，据此判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，
若∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形.
故答案为：D.
【分析】先利用平行四边形性质结合∠A+∠C=180°，求得∠A=∠C=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∴AC= BC=2 ，
∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，
∴AD=DC= AC=，
∵BE⊥ED，
∴∠C=∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴四边形BCDE的面积=BC·DC=2×=2 .
故答案为：A.
【分析】先解直角三角形求得AC的长，再由垂直平分线的性质求得DC的长，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形BCDE为矩形，再由矩形的面积计算公式求出面积即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AC=BD，OA=OC，
∴A、B、D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，对边平行且相等，对角线相等且平分，即可判断.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BO=DO=AO=CO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴S△FBO=S△EDO，
∴阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD= ×4×3=3.
故答案为：A.
【分析】先由矩形性质得BO=DO=AO=CO，AD∥BC，进而得∠EDO=∠FBO，再利用“ASA”判定定理证明△EDO≌△FBO，即得S△FBO=S△EDO，最后再由阴影部分面积=S△BOC= S矩形ABCD即可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴EF是△CDE的中位线，
∴BF=CD=2.5.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出CD的长，再根据三角形中位线定理得出BF=CD，即可得出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
8．【答案】B
【解析】【解答】解： 过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可知四边形CDEB是矩形，
∴BC=DE=1.2m，
BE=CD=1.6m，
∴AE=AB=BE=2.5-1.6=0.9m，
在Rt△ADE中
.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易证四边形CDEB是矩形，利用矩形的性质可求出DE，BE，AE的长，再利用勾股定理求出AD的长.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∵O为AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=CD=6，
∴AC===10，
∴OB=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，结合 OE∥AB和O为AC的中点，求出OE为△ACD的中位线，则可求出CD长，从而求出AB长，然后根据勾股定理求AC长，最后根据直角三角形斜边中线的性质求OB长即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵ 点E、F是边AD、AB的中点，
∴AD=2AE，AF=AB，
∵AD=2AB，
∴AE=AB，
∴EF=.
故A、B、C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得出∠A=90°，根据线段中点的定义得出AF=AB，AE=AB，再根据勾股定理即可得出EF=.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：如图：过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．
∴△ABE≌△CDF，（AAS），
∴AE＝CF．
∵∠ABE＝∠CDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝30°，
∴CF＝AE＝AD＝1，
∴BE＝ =AE＝，
∵∠ABE＝60°，AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴OE＝BE=，
∴S△ECO＝OE CF＝，
故答案为：B．
【分析】过点C作CF⊥BD于F．根据矩形的性质得出∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．根据全等三角形的性质得出AE＝CF．解直角三角形得出OE的值，根据三角形面积公式即可得出结论。
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】40°
【解析】【解答】解：∵AB=AC，，
∴
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC= =20°，
∵
∴
又 ，且
∴
故答案为：40°
【分析】先利用三角形的内角和求出 ，再利用角平分线的定义求出∠DBC==20°，再利用三角形的内角和求出，最后利用三角形的外角可得。
14．【答案】AC⊥BD
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，
∵顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，
∴EF、GH分别为△ADC、△ABC的中位线；FG、EH分别为△ADB、△DBC的中位线，
∴EF∥AC且EF= AC，GH∥AC且GH= AC，FG∥DB且FG= BD，EH∥BD且EH= BD，
∴EF∥GH，且EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD时，
∴∠EFG=∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形.
故答案为：AC⊥BD.
【分析】先根据中位线的性质求得EF∥GH，且EF=GH，可判定四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°，即可证明四边形EFGH为矩形.
15．【答案】∠BAC=90°
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形.
故答案为：∠BAC=90°.
【分析】由DE∥AB，DF∥AC，可证得四边形AEDF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可添加∠BAC=90°，即可得到四边形AEDF是矩形.
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接EC，BE交MN于点F，
∵矩形ABCD，E是AD的中点，且AE=1cm，
∴AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，
∵FC垂直平分BE，
∴EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，
∴在Rt△EFC中，CD= ，
∴AB=CD= cm.
故答案为： .
【分析】由矩形性质及E是AD的中点，且AE=1cm，可得AB=CD，AD=BC=2AE=2cm，ED=1cm，再由垂直平分线性质可得EC=BC=2cm，∠BFC=∠EFC=90°，再利用勾股定理求得CD，即可求得AB得长.
17．【答案】30
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠DAE=2∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BD，即∠AEB=90°，
∴∠ABO=60°，
∴ ∠BAO=60°，
∴ ∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-30°=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据矩形性质得OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°，结合∠DAE=2∠BAE，可求得∠BAE=30°，由AE⊥BD，即∠AEB=90°，求得∠ABO=60°，进而得∠BAO=60°，再由∠EAC=∠BAO-∠BAE，代入数据即可求得∠EAC度数.
18．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴DO=AO，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠DOC=110°，
∴2∠DAO=110°，即∠DAO=55°，
∴∠DAC=55°.
故答案为：55°.
【分析】根据矩形性质得DO=AO，进而得∠ADO=∠DAO，再由三角形的外角定理求得∠DAO=55°，即可求出∠DAC的度数.
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．【答案】证明：∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EO=FO=GO=HO,
∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF，
∴四边形EFGH是矩形.
【解析】【分析】根据矩形性质，得OA=OB=OC=OD，再由E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，得EO=FO=GO=HO，可证明四边形EFGH是平行四边形，再由EG=HF即可判定四边形EFGH是矩形.
20．【答案】解：如图，连结AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BE,AC=BD,
∴ ,
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵ ,
∴
∴
∴
【解析】【分析】连结AC交BD于点O，由矩形的性质得AD∥BE，AC=BD，OA=OD，进而得∠ADB=∠CAD，∠E=∠DAE，再由BD=CE得CE=CA，可求得∠E=∠CAE，即得∠ADB=30°，根据直角三角形性质即可求出AD得长度.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，结合CF=AE可推出DF=BE，则四边形BFDE是平行四边形，根据垂直的概念可得∠DEB=90°，然后利用矩形的判定定理进行证明.
22．【答案】解：如图，连结CD，
∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=10，
∴CD=AB=5.
又∵E是AC的中点，
DE∥BC，DE=BC.
∵CF=BC，DE∥CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=5.
【解析】【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长，利用三角形的中位线定理去证明DE∥CF，DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边相等可求出EF的长.
23．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的判定定理即可得出结论。
24．【答案】解：∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴，，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，
∴DE＝DC，DF＝DC，
∴DE＝DF，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCA+∠ACG＝180°，
∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】【分析】先证明DE=DC，DF=DC，则DE=DF，再证明四边形AECF是平行四边形，然后证明∠ECF=90°，即可得出结论。
25．【答案】证明：由AB=AC，AD⊥BC，根据“三线合一”可得AD平分∠BAC，即∠DAC= ∠BAC，再根据AN平分∠CAM，可得∠NAC= ∠CAM，从而得到∠DAN=90°，再有CE⊥AN，AD⊥BC即可证得结论．
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
∴AD平分∠BAC
∴∠DAC= ∠BAC
又∵AN是ΔABC外角∠CAM的平分线
∴∠NAC= ∠CAM
∴∠DAC+∠NAC= (∠BAC+∠CAM)=90°
即∠DAN=90°
又∵CE⊥AN，AD⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠ADC=∠AEC=∠DAN = 90°
∴四边形ADCE是矩形．
【解析】【分析】根据“三线合一”可得∠DAC= ∠BAC，再根据AN平分∠CAM，可得∠NAC= ∠CAM，从而得到∠DAN=90°，再有CE⊥AN，AD⊥BC即可证得结论．
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18.2 矩形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
2．在 ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若BC=2，则四边形BCDE的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB//DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF，若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，某自动感应门的正上方 处装着一个感应器，离地 米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时 米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
9．如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A． B．4 C． D．5
11．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FG，CH和HE.若AD=2AB，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=AB B．EF=AB C．EF=AB D．EF=AB
12．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．如图，在中，AB=AC，，BD平分交AC于点D，点E在BC上，连接DE，若，则的度数为 ．
14．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，要使四边形GHEF为矩形，则四边形ABCD 的对角线AC，BD 应满足的条件是 .
15．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备的条件是 .
16．如图所示，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE=1cm，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为 cm.
17．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE=2∠BAE，则∠EAC= .
18．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠DOC=110°，则∠DAC= .
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形 EFGH是矩形.
20．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15 ，求AD的长度.
21．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF.
求证：四边形BFDE是矩形.
22．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，若AB=10，求EF的长。
23．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
24．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.求证：四边形ADCE为矩形；
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