中小学教育资源及组卷应用平台
18.3 菱形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AB，即DE∥EF，DE∥BF，
∴四边形BDEF是平行四边形，
A、∵四边形BDEF是平行四边形，又∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE平分∠FBD，∴四边形DBFE是菱形，正确，不符合题意；
B、∵四边形BDEF是平行四边形， BE平分∠ABC ，∴四边形DBFE是菱形，正确，不符合题意；
C、∵四边形BDEF是平行四边形，∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，∵BE⊥AC，∴BE⊥DF，∴四边形DBFE是菱形，正确，不符合题意；
D、AB=AC，平行四边形BDEF不一定是菱形，错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形BDEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形的是菱形；对角线平分对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；依此分别判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：取AC与BD的交点为O，
∵AC⊥BD，
又 ∵AC与BD互相平分，即OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：D.
【分析】根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可作答.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，∴四边形ABCD不是菱形，错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，∴四边形ABCD不是菱形，错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形， AC=BD ，∴四边形ABCD是矩形，不是菱形，错误.
故答案为：C.
【分析】 一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线平分对角的平行四边形是菱形；依此分别判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、 两组邻边分别相等的四边形，不一定是菱形，错误，符合题意；
C、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 正确，不符合题意；
D、 两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；根据菱形的判定定理分别判断，即可作答.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵边长AB=5，
∴菱形的周长=4AB=20.
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可知：菱形的四边相等，依此求其周长即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作EE'⊥BC，交BD于E'，连接E'F交BD于P'，连接EP'，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是EE'的垂直平分线，
∴P'E=P'E，
∴PE+PF＞P'E'+P'F'=E'F，
∴EP＋FP的最小值为 E'F，
∵B'E=BE=AF，BE∥AF，
∴四边形ABE'F为平行四边形，
∴E'F=AB=AE+BE=3.
故答案为：C.
【分析】作EE'⊥BC，交BD于E'，连接E'F交BD于P'，连接EP'，根据菱形的性质得出∠ABD=∠CBD，BD是EE'的垂直平分线，从而把PE+PF转化为P'E+P'F，根据三角形三边的关系得出当P、E、F三点共线时，EP＋FP长最短，再证明四边形ABE'F为平行四边形，得出E'F=AB，即可解答.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠CAD=∠BAC=52°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-52°-52°=76°，
∴∠CDO= ∠ADC=38°.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出AD=CD，∠CAD=∠BAC，然后根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求∠ADC的度数，再根据角平分线的定义求∠CDO度数即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断A、C、D选项；对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可判断B选项，据此判断即可得出正确答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知 ，AC⊥BD
∴
∴
在 中，由勾股定理得
∵点E为AB中点
∴OE是△ABD的中位线
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据菱形的面积以及菱形的性质可得BD=6，则OA=4，OD=3，利用勾股定理求出AD，易得OE是△ABD的中位线，据此解答.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知，菱形的两条对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为： .
故答案为：C.
【分析】菱形的两条对角线长分别为6、4，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴, ，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=100°
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF,
∴,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=60°，
在△DCF与△BCF中，
∴△DCF≌△BCF（SAS)
∴∠CDF=∠CBF=60°
故答案为：D.
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，由菱形的四条边都相等可得BC＝DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，即当平行四边形ABCD时矩形是，面积最大，
①∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴AB2+BC2=25=AC2，
∴AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，故①符合题意；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
③∵平行四边形ABCD，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，故③不符合题意；
④∵平行四边形ABCD，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故④符合题意.
故答案为：B.
【分析】当平行四边形面积最大时，AB⊥BC，可判定平行四边形ABCD为矩形，因此从条件中验证可判定为矩形的条件即可；由勾股定理逆定理可推出AB⊥BC，即可推出平行四边形ABCD为矩形，故①正确；由∠A+∠C=180°及∠A=∠C，可证∠A=90°，可证明平行四边形为矩形，故②正确；由AC⊥BD，可证明平行四边形ABCD为菱形，故③错误；由AC=BD，可证明平行四边形ABCD为矩形，故④正确.
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】35
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴， ，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：35．
【分析】根据菱形的性质可得 ， ，再利用 ，求出 ，即可得到 。
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，当以AB为对角线时，D与C关于x轴对称，
∴D1(0，- )；
当以BC为对角线时，D2(2， )；
当以AC为对角线时，D3(-2， )；
综上，D点的坐标为： .
故答案为： .
【分析】按条件作图，然后分三种情况讨论，即当以AB为对角线时，当以BC为对角线时，当以AC为对角线时，根据矩形的性质，分别求出D点的坐标，即可作答.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OB=OD=OC=OA，
∴BD= = ，
∵OD= BD= ，
∵DE// AC，CE//BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵OC=OD，
∴四边形OCED为菱形，
∴四边形OCED的周长=4OD=.
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得出∠BAD=90°，OB=OD=OC=OA，然后利用勾股定理求出BD长，从而得到OD长，再证明四边形OCED为菱形，最后求菱形的周长即可.
16．【答案】25°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAO= ∠BAD=40°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=50°，
∵BE=BO，
∴∠BOE= =65°，
∴∠EOA=∠AOB-∠BOE=90°-65°=25°.
故答案为：25°.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD和∠BAO的度数，然后根据直角三角形的性质求∠ABO，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠BOE，最后根据角的和差关系求∠AOE度数即可.
17．【答案】5.5或0.5
【解析】【解答】①如图1，
当E在线段AD上时，在菱形BCFE中，BE=BC=EF=5.
是EF的中点， .
在矩形ABCD中， .
在Rt 中，由勾股定理得 ， ；
②如图2，
当点E在线段DA的延长线上时，同理可求AM=AE-EM=3-2.5=0.5.
故答案为：5.5或0.5
【分析】分两种情况讨论，即①当E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，根据菱形的性质求出EF长，结合中点的定义求出EM长，然后根据勾股定理求出AM，最后根据线段的和差关系求出AM长即可.
18．【答案】10
【解析】【解答】解：∵DEAC，CEBD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
【分析】根据平行线的性质得出四边形OCED为平行四边形，再根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，利用勾股定理得出CD的值，得出平行四边形OCED为矩形，即可得出答案。
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
∴ .
∵EF是AC的垂直平分线,
∴ .
又∵ ,
∴ ,
∴EO=FO，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
【解析】【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质得出∠FAC=∠ECA，根据垂直平分线的定义利用ASA证明△AOF≌△COE，得出OE=OF，结合OA=OC，得出四边形AECF是平行四边形，再结合EF⊥AC， 则可证明四边形AECF是菱形.
20．【答案】解：连接，
四边形为菱形，
，，
，
，
和都为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【解析】【分析】先利用菱形的性质证明和都为等边三角形，可得，，再利用“SAS”证明，所以，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到为等边三角形。
21．【答案】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵点E，O，F分别为 ， ， 的中点，
∴
在 和 中， ，
∴ ；
【解析】【分析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，结合中点的概念可得AE=BE=DF=AF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
22．【答案】证明：四边形BFCD是菱形，理由如下：
在中，∵，是的中线，
∴ ，
∵点是的中点，
∴AE=EF，
∵CF∥AB，
∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∴△ADE≌△FCE，
∴CF=AD，
∴CF=BD=CD，
∵CF∥AB，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵CF=CD，
∴四边形BFCD是菱形．
【解析】【分析】先利用三角形全等的性质得出△ADE≌△FCE，再根据菱形的判定定理即可证出结论。
23．【答案】证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴
在 和 中
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴
∴AB∥CD，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【分析】先证明△ABF≌ADF，再求出AB//CD，最后证明求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵由旋转可知，AB=EB，AD=EC，BD=BC，∠ABD=∠EBC，∠ABE=∠DBC=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-60°=30°，∠DBE=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠EBC=∠DBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE．（SAS），
∴DE= CE；
（2）结论：四边形ABED是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE=CE，
∵BE=CE，AB=EB，AD=EC，
∴AB=EB=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明△BDE≌△BCE，即可证明；
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判定．
25．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF， ，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
【解析】【分析】根据平行四边形的性质及BF平分∠ABC，可求出∠ABF＝∠AFB，由等角对等边即得AB＝AF， 然后根据ASA可证△BOA≌△BOE，可得AB＝BE，从而得出BE＝AF，由BE∥AF，利用一组对边平行且相等可证四边形ABEF是平行四边形， 由AB＝AF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
18.3 菱形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（ ）
A．AB=BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB=AC
2．如图所示，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．BA=BC B．AC=BD
C．AB//CD D．AC与BD互相平分
3．如图所示，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
4．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（ ）
A．四条边相等 B．两组邻边分别相等
C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
5．菱形ABCD的边长AB=5，则此菱形的周长是（ ）
A．20 B．25 C．10 D．5
6．如图，菱形ABCD中，AE=1，AF=BE=2.若P为对角线BD 上一动点，则EP＋FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAC=52°，则∠CDO的度数是（ ）
A．52° B．44° C．40° D．38°
8．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
10．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则该菱形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
11．如图，在菱形ABCD中， 的垂直平分线交对角线AC于点 ，交AB于点 ，连结DF，则 等于（ ）
A． B． C． D．
12．在□ABCD中，AB=3，BC=4，当口ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．如图，在菱形中，连接．若，则的度数为 °．
14．在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(1，0)，c(0， )，若使以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，请写出符合条件的点D的坐标 .
15．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE// AC，CE//BD，DE和CE相交于点E，已知AB=4，AD=6，则四边形OCED的周长为 .
16．如图所示，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA= .
17．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为M，则线段AM的长为 .
18．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O.求证：四边形AECF是菱形.
20．如图，菱形的边长为6，，点是上的动点，是上的动点，满足，求证：不论点E、F怎样移动，总是等边三角形．
21已知：在菱形 中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接 ， .求证： ；
22．如图，在中，，是的中线，点E是的中点，过点C作CF∥AB交的延长线于点F，连接．请判断四边形的形状，并加以证明．
23．如图，在四边形 中， 是 的垂直平分线， 是 上一点， 交 于 ，连接 ． ，试证明四边形 是菱形．
24．如图， 在平面内绕点B逆时针旋转 得到 ．已知 ，连接DE
（1）求证：
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
