中小学教育资源及组卷应用平台
18.4正方形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】A
【解析】【解答】解：选项A，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
选项B，对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项B为假命题；
选项C，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以选项C为假命题；
选项D，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项D为假命题.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定方法对选项A进行判断；根据矩形的判定方法判断选项B；根据菱形的判定方法对选项C进行判断；根据正方形的判定方法对选项D进行判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∴AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴四边形ABCD不是正方形，错误；
B、∵四边形ABCD为菱形，∴OA=OC，不能判定四边形ABCD不是正方形，错误；
C、∵四边形ABCD为菱形，BC⊥CD，∴四边形ABCD不是正方形，正确；
D、∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，不能判定四边形ABCD不是正方形，错误.
故答案为：C.
【分析】有一个内角等于90°的菱形是正方形，依此分别判断；而仅有菱形本身的性质不能判定是否是正方形.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，OA=3，
∴AC=BD=6，AO⊥BO，
∴正方形面积为：AC×BD=18.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的对角线互相垂直相等可得AC=BD=6，AO⊥BO，再根据正方形的面积等于两对角线乘积的一半即可算出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，BC⊥CD，
∴∠BCE+∠FCD=90°，
又∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠FCD，
∴△BEC≌△CFD，
∴BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，
∴EF=EC+CF=6.5dm.
故答案为：A.
【分析】根据正方形性质得，BC=CD，BC⊥CD，根据同角的余角相等得∠EBC=∠FCD，利用AAS可证明△BEC≌△CFD，根据全等三角形性质可得BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，再由EF=EC+CF即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形AEFG，
∴∠AEF=90°，
∵∠BAE=40°，∠CEF=15°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，即:90°+15°=40°+∠B，
∴∠B=65°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠D=∠B=65°.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质可得∠AEF=90°，再根据三角形外角定理，可列等式：∠AEC=∠BAE+∠B，结合∠AEC=∠AEF+∠CEF，求得∠B，再由平行四边形的对角互补即可求得∠D度数.
6．【答案】B
【解析】【解答】∵正方形ABCD的边长为7，
四边形ABCD是正方形
∴四边形EFGH的面积为
故答案为：B
【分析】由题意先求出，则四边形EFGH的面积等于正方形ABCD减去四个直角三角形的面积。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直但不相等，不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用矩形，菱形，正方形和菱形的判定方法对每个选项一一判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD.
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA）， S2=S△BOM，
∴ ，
∵ = S正方形ABCD，正方形的边长 ， ，
∴ = S正方形ABCD - = .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD，由同角的余角相等可得∠BOM=∠CON，证明△BOM≌△CON，则S2=S△BOM，S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD，据此计算.
9．【答案】C
【解析】【解答】解： 正方形ABCD，
AB＝4，
故答案为：C
【分析】先利用“HL”证明，再利用全等的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用正方形的性质求解即可。
10．【答案】（1）B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，由CE=DF可求出AF=DE，根据SAS证明△ABF≌△DAE，得AE=BF，∠ABF=∠EAD，据此判断①；由∠EAD+∠EAB=90°得∠ABF+∠EAB
=90°，利用三角形的内角和可得∠AOB=90°，据此判断②；连结BE，由于BA≠BE，BO⊥AE，可得OA≠OE，据此判断③；由△ABF≌△DAE可得S△ABF=S△DAE，从而得出S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
即得S△AOB=S四边形DEOF，据此判断④.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2.
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2，S2＝(a-b)2＝a2+b2-2ab，然后表示出2ab，接下来根据(a+b)2＝a2+2ab+b2进行解答.
12．【答案】C
【解析】【解答】解： 设BE与AC交于点P'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
∴ PD+PE的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BE，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，根据正方形ABCD的面积为16，得出AB=4，根据等边△ABE的性质得出BE=AB，即可得出答案.
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】2或10
【解析】【解答】解：分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴
由勾股定理得，AM 4，
∵四边形ACDE是正方形
∴ ，
∴∠ACM+∠FCD=90°，
又AM⊥BC
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴CF=AM= 4，
∴BF=BC+CF=6+4=10，
②如图2所示，
同理可得，AM=4，MC=3，
又四边形ACDE是正方形
∴ ，
∵∠ACM+∠FCD=90°，∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴FC=AM= 4，
∴BF=BC-CF=6-4=2．
综上所述，BF的长为2或10
故答案为：2或10
【分析】分两种情况：①过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC+CF=6+4=10；②如图2所示，先利用勾股定理求出AM=4，再利用“AAS”证明△AMC≌△CFD，可得CF=AM= 4，再利用线段的和差可得BF=BC-CF=6-4=2，即可得解。
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，延长GH交DC的延长线于N，
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5cm和3cm，
∴AE//GF//CD,GF=AG=3,DC=AD=5,
∴∠FGH=∠N,GD=2,
∵点H是CF的中点，
∴CH=FH,
在 和中，
∴,
∴GH=HN,GF=CN=3,
∴DN=DC+CN=8,
∴在中，有勾股定理可得：,
∴.
故答案为： .
【分析】延长GH交DC的延长线于N，由“AAS”可证 ，可得GH=HN,GF=CN，在中，有勾股定理可求GN的长，即可求解.
15．【答案】45°
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=45°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°
故答案为：45°.
【分析】对图形进行点标注，角标注，易证Rt△ABC≌Rt△EFC，得到∠3=∠1，然后根据∠2+∠3=45°就可得到∠1+∠2的度数.
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长=，
∴AE=AB=，
∴E所表示的数为：-|2-| =-2+.
故答案为：-2+.
【分析】先根据正方形的面积公式求出其边长，从而得出AE长，再根据线段间的和差关系求原点到E点的距离，结合E点的位置，即可得出E所表示的数.
17．【答案】150
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AD=AP=PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=∠ADP=∠APD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB=AP=DP=DC，
∴∠ABP=∠APB=∠DPC=∠DCP=75°，
∴∠BPC=360°-60°-75°-75°=150°.
故答案为：150°.
【分析】易知AD=AP=PD，则△ADP是等边三角形，得到∠DAP=∠ADP=∠APD=60°，根据正方形的性质可得AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，则AB=AP=DP=DC，由等腰三角形的性质可得∠ABP=∠APB=∠DPC=∠DCP=75°，然后结合周角的概念进行计算.
18．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AE，PA，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE= .
故答案为： .
【分析】连接AE，PA，根据正方形的性质可得点C关于BD的对称点为点A，则PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，据此计算.
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．【答案】证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴矩形 是正方形.
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据垂直的概念可得∠DFC=90°，∠DEC=90°，推出四边形DECF为矩形，然后结合DE=DF以及正方形的判定定理进行证明.
20．【答案】解：在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
【解析】【分析】先利用AAS证明△ABE≌△CBE，得出BA=BC，结合四边形ABCD是矩形，即可证出四边形ABCD是正方形.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=DO，
又∵DE=CF，
∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OF=OE，
在△AOE和△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即可得AM⊥DF.
【解析】【分析】由正方形的性质可得CO=DO，结合DE=CF，可推出OF=OE，证明△AOE≌△DOF，得到∠OAE=∠ODF，由余角的性质可得∠OAE+∠AEO=90°，由对顶角的性质可得∠AEO=∠DEM，则∠ODF+∠DEM=90°，据此证明.
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，
在Rt△ABF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE，
∴CD-CE=AD-AF，
∴DE=DF.
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90°，由等边三角形的性质可得BE=BF，证明Rt△ABF≌Rt△CBE，得到AF=CE，据此证明.
23．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN= AB，
∴BN= BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
在△△FNE和△ECB中，
∴△FNE≌△ECB，
∴FN=EC.
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，结合AB=2BC可得EN=NB=BC，然后证明△FNE≌△ECB，据此可得结论.
24．【答案】解：作FH⊥CG交BC的延长线于H.
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
又∵∠B=∠EHF，且AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴BE=HF，BC=AB=EH，
∴EH-EC=BC-EC，
∴BE=CH，
∴CH=HF.
∴∠FCH=∠CFH=
∴
【解析】【分析】作FH⊥CG交BC的延长线于H，利用余角的性质可证得 ∠FEH=∠EAB，利用AAS可证得△ABE≌△EHF；再利用全等三角形的性质可推出BE=HF，BC=AB=EH，由此可证得BE=CH，从而可推出CH=HF，利用等腰三角形的性质可求出∠FCH的度数，然后求出∠DCF的度数.
25．【答案】证明：取 中点 ，连接
又 为 的中点，四边形 是正方形
∴ ，
∴△BHE为等腰直角三角形
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
又EF交正方形外角的平分线CF于点F
∴ ，
在 和 中
∴ ≌ （ASA）
∴
【解析】【分析】因为四边形 是正方形，得出△BHE为等腰直角三角形，EF交正方形外角的平分线CF于点F，得出 ， ，利用全等三角形的性质即可得出。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
18.4正方形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB = AC B．OA = OC C．BC⊥CD D．AC⊥BD
3．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
4．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（ ）
A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm
5．如图所示，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（ ）
A．65° B．55° C．70° D．75°
6．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
7．下列说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线平分每组对角；
B．菱形的对角线相等且互相垂直；
C．有一组邻边相等的矩形是正方形；
D．对角线互相垂直的四边形是菱形．
8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记 的面积为 ， 的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
12．如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．在中，，，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作交直线BC于点F，则BF的长为 ．
14．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5 cm和3 cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为 cm．
15．如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上.则 .
16．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-2，若AB=AE，则数轴上点E所表示的数为 ．
17．如图，四边形是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以长为半径圆弧，两弧交于点P，连接，：②连接，，则 .
18．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是 .
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．已知：如图，在 中， ， 是 的角平分线， ， ，垂足分別为E、F.求证：四边形 是正方形.
20．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， ， ，求证：四边形ABCD是正方形.
21．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连结DF、AE，AE的延长线交于DF于点M，求证：AM⊥DF.
22．如图，在正方形 中，点E、F分别在 上，且 是等边三角形.
求证： .
23．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.
24．如图，四边形 是正方形，点 是 边上的一点， ，且 ，连接 ；求 的度数.
25．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（提示：取AB的中点H，连接EH．）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
