义务教育课程标准实验教科书·八年级《数学》（下）
（沪科版）
18.3一元二次方程的根的判别式
教学设计
安徽省怀远实验中学 周道军
18.3一元二次方程的根的判别式
〖教材分析〗
1、地位和作用
本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
2、重点和难点
本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖学生情况分析及应对策略〗
学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
〖设计理念〗
教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
〖教学准备〗
教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学目标〗
根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：
知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
〖教学流程〗
一、创设情境，提出问题
1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2、能力展示：分组比赛解方程
（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。
（待学生做完后，教师点评。（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）无实数根。)
3、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）
4、提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）
学习目标：
1、知道什么叫一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它来判断方程根的情况；
2、能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等；
3、体会分类思想、转化思想的应用。
二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动1 学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第51页课文至倒数第四行，并注意分类讨论的思想方法的使用。
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
它何时有两个相等的实数根？
何时有两个不相等的实数根？
何时没有实数根？
为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动2 合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。
活动3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。
2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论1 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根。
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。
活动4 应用迁移，发展能力
例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+x+1=0
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。
解 （1）原方程可变形为
5x2-3x-2=0，
因为Δ＝（-3）2- 4×5×（-2）＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根。
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据结论1判别方程根的情况）。
（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评。
3、逆定理
活动5 逆向思考，拓展延伸
上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示结论1）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
结论2 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。
（将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系）
例题2 已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？
师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2。
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0，
即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k=，
∴ k=时，方程有两个相等的实数根。
变式：已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。
解：∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，
即 (－3)2－ 4k ≥ 0, 解得k ≤，
∴ k≤时，方程有两个相等的实数根。
三、当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.
2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（ ）
A.a =0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
x(x +1)=3 .
4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。
（说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评。）
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论1）；
（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论2）。
2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？
五、作业设计
课本第53页习题20.3
必做题：第1,3题；
选做题：第2,4,5题.
〖教学反思〗
本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！
在课堂教学进程的把握上还应再简练些，当堂检测4可让学生课后完成，这样教学目标的达成会更从容。
板书设计
一元二次方程的根的判别式
教学设计说明
安徽省怀远实验中学 周道军
教学内容分析
本节内容为“一元二次方程的根的判别式”，它以一元二次方程的解法为基础，是对公式法的完善与发展。利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
教学目标
《数学课程标准》关于本节内容的教学要求是：能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：
知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
易错点分析
由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式的一元二次方程提出的，所以要计算b2-4ac的值时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，然后再求b2-4ac的值，即要“一化，二算”。初学时，学生容易忽略“一化”的过程，例如对于一元二次方程2x2=3x-1,求Δ时可能误为Δ=32-4×2×（-1）=17.教学中应给予强调，以避免上述类型的错误。
另外，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ＜0时，方程“无实数根”，不要说成“无解”，以体现数学的严密性。因为在更大的数集----复数范围内，方程依然有解。
主要教法特点
一、注重对学生发现问题和提出问题能力的培养
长期以来，在我们的教学中，往往只重视对学生分析问题和解决问题能力的培养，而忽视了问题的提出过程，这是导致我们的学生缺乏创造性的根源之一，是传统教学模式的致命缺陷。
在本节课的教学设计中，特别注重了对学生发现问题和提出问题能力的培养。开始部分的“分组比赛解方程”，教师组织学生解三个方程，一方面是对一元二次方程解法的复习巩固，另一方面，这三个方程的根的情况是不同的：方程（1）有两个相等的实根，方程（2）有两个不相等的实根，方程（3）没有实根，这为后面发现问题埋下了伏笔。当学生解完三个方程，沉浸在成功喜悦中的时候（其实细心的同学也许已经注意到了这个现象），教师适时提出问题：观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？意图是让学生在认真观察的基础上，通过比较、思考，去发现问题。当现象摆在面前的时候，在好奇心的驱使下，学生总想知道背后的原因是什么。顺着上面的思路，教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
它何时有两个相等的实数根？
何时有两个不相等的实数根？
何时没有实数根？
纵观这一环节的设计，既体现了与上节内容的自然衔接，更凸显了对学生的发现问题、提出问题能力的培养，而不是停留在由教师提出问题，让学生去被动解答上。
二、既注重培养学生良好的学习习惯，也注重传授有效的学习方法。
教案中引入新课后，接下来是一元二次方程根的判别式的意义及判别方法的教学。教材中是开门见山，直接针对求根公式，结合平方根的意义，利用分类思想进行讨论。为了培养学生的主动学习的良好习惯，提高自学能力，教学设计中先安排学生带着问题自学这段课文，完成对知识的初步感悟；然后“合作交流，深入探究”，即就所给问题的答案及学生在自学中遇到的问题组织学生进行交流；再通过教师提问，检查自学效果，发现问题，集中解决。在这一过程中，自主、合作、探究的学习方式均得到了有效的应用，尤其注意培养了学生的自学习惯。
在应用结论1解例题1时，既注意调动学生的积极性，让他们自己思考、分析、说思路，也注意了对解题格式的规范和解题方法的总结，“一化，二算，三判断”，寥寥七个字，简洁而准确地概括将解题的方法与步骤，既方便了学生对方法的理解与记忆，同时也交给了学生巧记知识的方法。
三、注重数学思想的渗透教学。
所谓良好的数学教育，就是不仅掌握了数学知识，而且还懂得了数学思想。在本节课的教学设计中，特别注意了数学思想的教学。在针对一元二次方程的求根公式进行讨论时，正是运用了分类思想，分别就b2-4ac＞0、b2-4ac＝0、b2-4ac＜0三种情形进行讨论的；结论1和结论2的叙述更是集中体现了分类思想的应用。另外，对于非一般形式的一元二次方程，要想不解方程而判断其根的情况，就必须先将其化为一般形式，然后运用结论1加以判断，这里也体现了化归思想的运用。
预期效果分析
本节课的教学设计坚持从学生情况出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，充分尊重学生，多种方法并用，注意培养自学能力，以使学生充分理解所学内容；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，并注重对方法的总结；强调通过学生积极、主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维。所以，有理由相信，以此教学设计为蓝本，定能取得不错的教学效果！
