2021-2022学年度湘教版数学九年级上册 3.5相似三角形的应用 课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
第3章
图形的相似
九年级数学湘教版·上册
3.5相似三角形的应用
授课人：XXXX
教学目标
1.学会利用相似三角形解决高度(长度）测量问题.(重点、难点）
2.学会利用相似三角形解决河宽测量问题．(重点、难点)
新课导入
世界上最高的树
—— 红杉
新知探究
乐山大佛
新知探究
台北101大楼
新知探究
怎样测量这些非常高大物体的高度？
新知探究
世界上最宽的河
——亚马逊河
怎样测量河宽？
新知探究
问题1 如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A, B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
利用相似三角形测量宽度
一
A
B
如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A, B 两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A, B 间的距离了.
C
D
F
新知探究
例1 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
新知探究
因此河宽大约为90m.
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P
∴△PQR∽△PST
新知探究
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
方法归纳
新知探究
问题2 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
二
新知探究
例2 如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
新知探究
解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，
又∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴ = ，∴ = ，
∴BO=134.
因此金字塔高134 m.
新知探究
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法1
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
新知探究
例3 在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，李明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0.2米，OB＝50米，AA′＝0.0005米，则李明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′.（近似地认为AA′ // BB′ ）
新知探究
解：
答：李明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为0.125m.
新知探究
例4 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
A
E
C
D
F
B
N
M
新知探究
A
E
C
D
F
B
N
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴ .
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
∴ , ∴CN=3.6m，
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
M
新知探究
测高方法2：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
新知探究
例5 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
∴ ,
得 BA=18.75m.
因此，树高约为18.75m.
D
B
A
C
E
2
1
新知探究
测高方法3：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
新知探究
（1）根据题意画出___________;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_____________________;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;
（4）写出___________.
示意图
已知线段、已知角
未知量
答案
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
归纳总结
巩固练习
1.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
解：作DE⊥AB于E
得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4（米）.
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
课堂小结
相似三角形的应用
测量高度问题
测量河宽问题
课堂小测
1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长6m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m.
3
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
6m
0.5m
？
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______.
4米
课堂小测
3. 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，
BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵　
∴　
∴ △ABC ∽△A′B′C′
（三边成比例的两个三角形相似)．
A
C
B
C′
A′
B′
课堂小测
4. 如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米， BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.
解：公路AB与CD平行.
∵
14
28
21
42
31.5
A
B
C
D
∴ △ABD∽△BDC,
∴ ∠ABD=∠BDC
∴ AB∥DC
课堂小测
5.已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证：△ABC∽△FED.
D
A
B
C
E
F
证明：
∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线,
∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB
∴ △ABC∽△FED