沪科版八年级下册第18.1-18.2一元二次方程及其解法（5课时）

18．1 一元二次方程
课前导引
1．一元二次方程的三个条件：
①含有 个未知数，②未知数的最高次为 ，③是 方程．
2．一元二次方程的一般形式是 ．
3．满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的 ，
又叫做一元二次方程的 ．
【典型例题】
例 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
【基础过关】
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是 （ ）
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
4． 方程3x2-3=2x+1的二次项系数为__ ____，一次项系数为_______，常数项为_______．
5．方程的二次项系数为__ ____，一次项系数为_______，常数项为_______．
6．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
三、解答题
7．把方程化为一般式，并指出各项系数．
8．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6：
（1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？
9．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长．小明是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，
知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
第一步：
所以，________ x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36
第二步：
所以，________ （1）请你帮小明填完空格；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为__ ____．
【拓展提高】
10．求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
18.2一元二次方程的解法（直接开平方法）
【双基巩固】
1．应用直接开平方法可解形如x2=p的方程，当p 时，其解为x= ；
形如的方程，当 时，其解为x= ．
2．应用直接开平方法的目的是 ，从而将一元二次方程转换为 方程．
【典型例题】
例 解方程
【基础过关】
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是 （ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为 （ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．有下列方程：①；②；③；④，其中能用直接开平方法求解的是 （ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题
4．若8x2-16=0，则x的值是_____ ____．
5．方程2（x-3）2=72的两根是__ _____．
6．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
7．关于的方程有解的条件是 。
三、解答题
8．解关于x的方程（x+m）2=n．
9．解下列方程：
（1） （2）
【拓展提高】
10．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
18.2一元二次方程的解法（配方法）
【双基巩固】
1．通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做 法．
2．运用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项：把常数项移到方程的 边，二次项和一次项放在 边．
（2）把二次项系数化为 ．
（3）配方：方程两边同时加上一次项系数的 ．
从而把方程左边化为 式，右边是 数．
（4）用直接开平方法得解．
【典型例题】
例 解下列方程：
1． 2．
【基础过关】
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得 （ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．下列方程中，一定有实数解的是 （ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是 （ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
4．方程x2+4x-5=0的解是__ _____．
5．代数式的值为0，则x的值为__ ______．
6．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是__ _____数．
三、解答题
7．解下列方程
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
8．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
9．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．
【拓展提高】
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
18．2 一元二次方程的解法（公式法）
【双基巩固】
1、一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 ，当-4ac≥0时，它的根为：
x= 。这个式子叫做一元二次方程的 ．
2、利用求根公式解一元二次方程的方法叫 ．运用公式法解一元二次方程的一般步骤：
首先应把原方程化为最简的一般形式
计算-4ac的值
当-4ac≥0时代入公式即可．
【典型例题】
例 用公式法解下列方程．
（1）（x-2）（3x-5）=0 （2）4x2-3x+1=0
【基础过关】
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到 （ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是 （ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2= C．x1=2，x2= D．x1=x2=
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是 （ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是___ _____，条件是___ _____．
5．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
6． 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根据下列条件指出、、之间的关系：
（1）有一个根为1： （1）有一个根为－1： ．
三、解答题
7．用公式法解下列方程：
（1） （2）
8．某小区规定：每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，这个月只交10元电费；如果超过A千瓦时，那么该月除了交10元电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）某户2月份用电90千瓦时，超过规定
A千瓦时，用A表示超过部分的电费为多少？
（2）右表是该户3月、4月的用电和交费情
况。根据表中数据，求规定的A值为多少？
【拓展提高】
9．
18．2一元二次方程的解法（因式分解）
【双基巩固】
1．利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，这种解法叫作 法．
2．因式分解法的目的是 ．
运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解因式；
（3）将原方程转化为两个（或一个） 方程；（4）解 方程，即得原方程的解．
【典型例题】
用因式分解法解下列方程
（1）； （2）
【基础过关】
一、选择题
1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）.
A直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
2.方程的根为 （ ）.
A.x=1 B. C. D.以上均不对
3.若a、b、c为三角形ABC的三边,且满足(a-b)(a-c)=0,则△ABC的形状是 （ ）.
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形
二、填空题
4. 方程(x-2)2=2-x的根是 ；方程(x-5)(x+2)=9的根是 .
5. 当x= 时,分式没有意义.
6．已知3x2y2-xy-2=0，则x与y之积等于 .
三、解答题
7.选用适当的方法解下列方程:
(1)(3-x)2+x2=9 (2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3)(3x-1)2=4(1-x)2 (4)(x-1)2=(1-x)
8.解下列关于x的方程:
(1)x2+(1+2)x+3+=0 (2)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
9.已知等腰三角形两边长分别是x2-8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。
【拓展提高】
10．已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
求x1、x2（用、表示）
18．1 一元二次方程
例：一般形式为： 二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项分别为 -2 2 12
1．A 2．B 3．C 4．3 -2 -4 5．1 0 -3 6．
7．一般形式为： 二次项系数、一次项系数、常数项分别为：—2 —5 8
8．（1） （2）
9． (1)分别填—1、3、—0.01 0.36 (2) 3 3
10．证明：原方程变形为：，因为，所以不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
18.2一元二次方程的解法（直接开平方法）
例
1．B 2．D 3．C 4． 5． 6．-8 7．
8． 9．（1）；（2）
10．周长相等的矩形，正方形面积最大，故正方形边长为1米
18.2一元二次方程的解法（配方法）
例 （1） （2）无实数解
1．B 2．B 3．B 4． 5． 6．正数
7． （2） 8．9 9．36
10．（1）降价20元/件；（2）当降价15元/件时，获利最多1250元
18.2一元二次方程的解法（公式法）
例 （1） （2）无实数根
1．D 2．D 3．C 4．
5． 6．
7．（1） （2）
8．（1）超过部分的电费元；（2）50千瓦时
9．略
18.2一元二次方程的解法（因式分解法）
例 （1） （2）
1．D 2．C 3．D 4． 5．—3或1 6．1或
7．（1） （2） （3） （4）
8．（1） （2）
9．11或13 10．