湖南省怀化市2012-2013年高二上学期期末考试数学（理）试题

湖南省怀化市2012-2013年高二期末考试数学（理）试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟.
第一部分（选择题）
一．选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．数列的通项公式可以是
A． 　 　　　 　B．
C．　　　　　　 　D．
2．下列不等式恒成立的是
A． 　　　　 　B．
C．　　　　 　　　D．
3．不等式表示的平面区域（用阴影表示）是
4． 在数列中，，且（N），则为
A． 　　　　 　B．　 　　　　　C．　　　 　　D．
5．已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为
A． 　　　　 　B．　 　　　 　　C．　　　　　　　D．
6．如图，已知平行六面体，点是上底面的中心，且， ，，则用，，表示向量为
A． 　　 B．
C． 　 　 　　D．
7． 已知，则函数的最小值是
A． 　　　　B．　 　　　 　C． D．
8．设变量满足约束条件则目标函数的最小值是
A． 　　　　 　B．　 　　　 　C．　　　　　　D．
第二部分（非选择题）
二、填空题：(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把正确答案填在题中横线上)
9．命题“若，则”的逆否命题是 ．
10．不等式的解集是 ．
11．等比数列的前项和为，若，则公比 ．
12．已知，，且，则的值为 ．
13．椭圆上一点到左焦点的距离为2，是线段的中点(为坐标原点)，则 ．
14．已知，则函数的最大值是 ．
15．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若为等边三角形，的面积为，则的值为 ，圆的方程为 ．
三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分）
求双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率．
17．（本小题满分12分）
如图，某军舰艇位于岛屿的正西方处，
且与岛屿相距120海里．经过侦察发现，国
际海盗艇以100海里/小时的速度从岛屿出发
沿东偏北方向逃窜，同时，该军舰艇从
处出发沿东偏北的方向匀速追赶国际海盗船，
恰好用2小时追上．
（1）求该军舰艇的速度；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
　　已知，(R)．
（1）求当时的最大值和最小值；
（2）对，，使，求的取值范围．
19．（本小题满分13分）
　　在四棱锥中，底面，，
, 且.
(1)若是的中点，求证：平面;
(2)求二面角的余弦值．
20．（本小题满分13分）
已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）对任意N，是否存在正实数，使不等式恒成立，若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点，离心率为．过点的直线交椭圆于两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围
怀化市2012年下学期期末教学质量统一检测试卷
高二数学（理）参考答案与评分标准　
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
D
A
C
B
二、填空题：
9．若，则；10．； 11．； 12．12；
13．5； 14．； 15．3，（前者记3分，后者记2分）．
三、解答题：
16解：由题意，得双曲线的焦点在轴上，，………2分
则　　　　　　　　　　　　　……………4分
所以双曲线的实轴、虚轴的长分别为，　　　………………6分
顶点坐标为，　　　　　　　　　………………8分
焦点坐标为，　　　　　　　　　………………10分
离心率为　　　　　　　　　　　　　………………12分
17解：（1）依题意知，,
，，
在中，由余弦定理得

，
解得………………4分
所以该军舰艇的速度为海里/小时　　　　……………6分
（2）在中，由正弦定理，得 …………8分
即　　……………12分
18解：（1）因为在上递减，在上递增，
所以，…………6分
（2）记，在上的值域为．因为，所以
，依题意得……………10分
即，解得…………12分
19 解：（1）如图，建立空间直角坐标系．连接,易知为等边三角形，，则
．又易知平面的法向量
为 ,
由,得
,
所以平面………………………6分
(2)在中，,则,由正弦定理,
得,即，所以，．
设平面的法向量为，
由，
令，则，即…………………10分
又平面的法向量为,
所以，．
即二面角的余弦值为………………………13分
20解：设数列的公差为，数列的公比为，
则……………4分
所以……………6分
（2）存在正实数，使不等式恒成立，即对任意N恒成立．
设，则…………8分
当时，，为单调递减数列；
当时，，为单调递增数列。
又，所以当时，取得最大值…………10分
所以要使对任意N恒成立，则
，即……………13分
21解：（1）由已知得：，所以，
从而椭圆的方程为……………4分
（2）设直线的方程为，
由，得………6分
设，则，且，
所以，
同理………………8分
故
．
由，得………………11分
所以直线的斜率的取值范围是……………13分