湖南省怀化市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题

湖南省怀化市2012-2013年高三期末考试数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1．是虚数单位，复数为
A． 　　　 B． 　　　 C． 　　 D．
2．若, , 则的元素个数是
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有
A．16种 B．18种 C．20种 D．22种
5.若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为
A． B． C． D．
6.设直线l的方程为： ()，则直线l的倾斜角α的范围是
A． B． C． D．
7．下列命题正确的有
①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；
②命题：“”的否定：“”；
③设随机变量服从正态分布, 若，则；
④回归直线一定过样本中心（）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“理想距离”为：
；若到点、的“理想距离”相等，其中实数、满足
、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和是
A． B． C．10 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．计算的值等于 ．
10．如右图，点是圆上的点，且，
，则圆的面积等于 ．
11．若曲线的极坐标方程为 ，
则曲线C的普通方程为 .
（二）必做题（12～16题）
12．看右边程序运行后的输出结果 ．
13．已知、是不同的两个平面，直线，直线，命题：与无公共点；命题：， 则是的 条件．
14．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为(且)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 ．
15．已知,,成等差数列且公差不为零，则直线被圆截得的弦长的最小值为_______．
16．已知，且，当时,
；若把表示成的函数，其解析式是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知 设， ，，若图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．
（1）求的值；
（2）在中，分别为角的对边，．当时，求的值．
18．（本小题满分12分）
在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜.
(1) 求该考生8道题全答对的概率；
(2) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.
19．（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
（1）求证：A1C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值．
20．（本小题满分13分）)
京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 (单位：)和时间 (单位：)的关系为：.
（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；
（2）求列车正常行驶的速度；
（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值.
21．（本小题满分13分）
已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点，点都满足，求的取值范围．
22．（本小题满分13分）
已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．
设数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中，令，，求；
（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．
怀化市2012年下学期期末教学质量统一检测试卷
高三数学（理科）参考答案与评分标准　
一、选择题（）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
B
A
C
C
D
二、填空题（）
9. 2； 10. ； 11.； 12. 21； 13. 必要非充分；
14. 14； 15. 2； 16. 4； .
16提示：由得：
又 因此
三、解答题
17解：（1） --------------2分
------------4分
又 ∴ -------5分
解得 -------------6分
（2）因， -----------7分
因 得 -----------8分
又-------------------10分
解得 或 ------------12分
18解：(1)说明另三道题也全答对，相互独立事件同时发生，
即：--------5分
(2)答对题随机变量的个数为5，6，7，8. ----------6分
其概率分别为：


25
30
35
40
-----------10分
令：得分随机变量为分布列为： ----12分
19证明：（1）连接
正四棱柱 -------2分
又
-------4分
同理可得：
--------------------6分
（2） ∽
-------8分
又 底面边长是，侧棱长是3
--------9分
得 ，
同理 -----------（10分）
又 ， --------------12分
证法二 建立空间直角坐标系（略）
20解：（1）紧急刹车后列车的速度----------- 1分
-------------- 3分
当列车完全停止时
，解得或（舍去) ------- 5分
即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10.-----------6分
（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s,
又由列车的速度-----------7分
∴火车正常行驶的速度当时，---------9分
（3）紧急刹车后列车运行的加速度
∴--------------11分
∴最大
------------------------13分
21解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得
-------------------2分
由题意知椭圆、双曲线的焦点为----------------3分
对于椭圆，
，
所以椭圆方程为----------------5分
对于双曲线，
，
所以双曲线方程为----------------7分
（2）设------------（8分）
由得---------------（9分）
恒成立------------------（10分）
则----------------（12分）
∴-----------（13分）
22解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴，
当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立----------------2分
当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。
综上，得，，∴，
∴ ---------------4分
（2）∵ ∴
∴ --------------------8分
（3）解法一：由题设------------9分
∵时，，
∴时，数列递增-------------------10分
∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；
又∵，即，∴此处变号数有个．
综上得 数列共有个变号数，即变号数为-----------13分
解法二：由题设-----------(9分)
时，令；
又∵，∴时也有．
综上得：数列共有个变号数，即变号数为-----------13分