数学北师大版（2019）必修第二册 2.6..1第2课时正弦定理 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
2.6.1 第2课时 正弦定理
课标阐释
1.掌握正弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)
2.了解正弦定理的证明方法.(逻辑推理、数学建模)
3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算、逻辑推理)
4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰的慨叹跃然纸上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢 能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗 在本节中,我们将学习正弦定理,借助已学的三角形的边角关系解决实际问题.
激趣诱思
知识点拨
一、正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
名师点析对正弦定理的理解
1.适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
2.结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.
3.揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
4.主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.(　　)
(2)正弦定理不适用于直角三角形.(　　)
(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是定值.
(　　)
答案(1)×　(2)×　(3)√
激趣诱思
知识点拨
二、正弦定理的拓展
1.正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则
2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.
变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
激趣诱思
知识点拨
微思考
正弦定理主要解决哪几类三角形问题
答案(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
激趣诱思
知识点拨
微练习
在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.
激趣诱思
知识点拨
三、三角形解的个数
1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
类型 A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a激趣诱思
知识点拨
名师点析在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
激趣诱思
知识点拨
微思考
对于一个已知三角形,一定有解吗 如果不是,可能有几个解
答案不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.
激趣诱思
知识点拨
微练习
不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,A=60°.
解(1)因为A=120°为钝角,
a=5>b=4,
所以三角形有一解.
(2)因为A=150°为钝角,a=7所以三角形无解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知两角和一边解三角形
例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)
=180°-(30°+105°)=45°.
反思感悟 已知两角及一边解三角形的方法
1.若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
2.若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练1在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为　　　　　.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
判断三角形的形状
例3已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
(1)当A为锐角时,
①a②a=bsin A,一个解;
③bsin A④a≥b,一个解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
(2)当A为直角或钝角时,
①a>b,一个解;
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案1
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
4.在△ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),则此三角形的形状是　　　　　　.
所以sin2C-sin2A=sin2B,
结合正弦定理得c2=a2+b2,
所以△ABC为直角三角形.
答案直角三角形