(共24张PPT)
人教版 九年级下册
27.2.3 相似三角形应用举例（1）
新知导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.如何求塔的高度？
据说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
新知讲解
相似三角形的知识可以用来计算不方便测量物体的长度，比如深井、高楼、河宽等。
先来试试测算下我们的教学楼
合作探究
某天上午，小明测得自己在太阳下的影长恰好为1米，教学楼的影长为12米，而他的本身身高为1.72米，求教学楼的高度？
解：因为太阳光是平行线，所以∠C=∠F
又有∠B=∠D=90°，故△ABC∽△EDF。
∴DE:AB=DF:BC,
∴AB=DE×BC÷DF=20.64;
∴教学楼的高度为20.64米。
合作探究
太阳光是常用的测量辅助工具，除了阳光，还有“杠杆”
再来看下“金字塔多高”
典例精析
例4、如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.
典例精析
解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽△DEF.
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为 134 m.
OB
EF
=
OA
AF
∴
讨论
利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？
【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长.
练一练
在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
x = 54
竹竿1.8m
高
楼
3m
影长90m
解:设这栋高楼的高度为x.
答：这栋高楼的高度为54m.
新知讲解
在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？
典例精析
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
典例精析
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴ △PQR∽△PST．∴
即，,
PQ×90=（PQ+45）×60．
解得 PQ=90（m）．
因此，河宽大约为 90 m．
讨论
测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？
【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．
练一练
如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB.
解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC,
∴△ABD∽△ECD.
∴
即.
解得AB=100（m）
答：河宽100m.
归纳总结
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
课堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
A
2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米
C. 18米 D. 24米
B
课堂练习
3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是______米．
8
课堂练习
4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
B
E
D
C
20
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴BC＝9．
课堂练习
5. 利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC．垂足分别为E，C．若AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m．求BC．
课堂总结
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
板书设计
解题思路
根据题意建立相似三角形模型
证明三角形相似
得比例线段
列方程求值
作业布置
基础作业：
课本P41练习第1、2题
能力作业：
课本P43练习第9题
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人教版数学九年级下27.2.3相似三角形应用举例（1）教案
课题 27.2.3相似三角形应用举例（1） 单元 27 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.能运用三角形相似知识解决求不能直接测量物体的长度和高度等实际问题. 2.引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解.
重点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.如何求塔的高度？ 据说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 教师利用多媒体课件展示金字塔图片及文字，学生观察、思考 通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，从而有利于引入新课．
讲授新课 相似三角形的知识可以用来计算不方便测量物体的长度，比如深井、高楼、河宽等。 先来试试测算下我们的教学楼 某天上午，小明测得自己在太阳下的影长恰好为1米，教学楼的影长为12米，而他的本身身高为1.72米，求教学楼的高度？ 太阳光是常用的测量辅助工具，除了阳光，还有“杠杆”.再来看下“金字塔多高” 例4、如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． （思考如何测出OA的长？） 如下图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？ 例5 如图2，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ． 归纳测量河宽的方法 学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图，并进行解答 学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识。 让学生思考，交流各自的想法后出示教科书上的例5 教师通过以下三个问题，引导学生分析解题思路，由学生独立完成． 让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际 问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系. 通过对例题的分析，让学生体会在实际测量物体的长度或高度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解．通过对这个问题的探索，可以提高他们分析问题的能力． 出示一段河流，提出测河宽的问题，让学生根据自己的经验设计方案，再进行交流，便于培养学生的发散思维与自主学习的能力． 通过这个例题的分析与讲解，进一步使学生知道在实际测量物体的高度与宽度时，构建相似三角形模型是核心，获取其中某些线段的值是关键．
课堂练习 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城 墙的高度是（ ） A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是______米． 4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. 5. 利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC．垂足分别为E，C．若AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m．求BC． 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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