5.4.2数列求和 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）
文档属性
| 名称 | 5.4.2数列求和 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 562.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-19 15:37:38 | ||
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文档简介
5.4.2数列求和（补充）（新课）
知识梳理
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。
如： ； 等。
裂项相消法
裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：
(1)，，
(2)
(3)
(4)
(5)
错位相减法
这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ，
其中和 一个是等差数列，一个是等比数列.
典例解析
考点1：分组求和法
例1．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和.
变式1．设为等差数列，为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
例2.（2014湖南）已知数列的前项和 .
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
变式1.（2016天津文）已知是等比数列，前项和为，且 .
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和.
变式2．在数列中，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
考点2：裂项相消法
例3．设等差数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和为.
变式1．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和。
考点3：错位相减法
例4．已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和 .
变式1．已知正项等差数列中，为其前n项和，，，等比数列的前项和.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
考点4倒序相加法
例5．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．
变式1.已知函数，则
变式2．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
考点5：并项求和法
例6.已知数列，满足，是其前项和，求
变式1.已知数列，满足，是其前项和，求
变式2．已知数列满足，则前48项之和为___________.
考点6：周期性和法
例7．在数列中，，，，则___________.
变式1．已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．
变式2．已知数列通项公式，其前n项和为，则（ ）
A．1010 B．2020 C．505 D．0
巩固练习
1．已知数列满足，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
2．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
3．记数列的前项和为，若，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求的表达式．
4．在正项等比数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前100项的和.
5．已知为等差数列，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行
第二行 4 6 9
第三行 12 8 7
请从①，②，③ 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
6．已知等比数列的各项均为正，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
7．已知等差数列的前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围.
8．已知数列的前n项和为，满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
9．已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
11．已知数列满足，.
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和.
12．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
13．已知数列，则（ ）
A．-48 B．-50 C．-52 D．-49
5.4.2数列求和答案
典例解析
例1．（1）；（2）.
变式1．（1）（2）
变式2．（1）；（2）
例2.（1） （2）
变式1.（1） （2）
变式2．（1）证明略；（2）.
例3．（1）；（2）.
变式1．（1）；（2）.
变式2.（1） （2）
例4．（1），；（2）
变式1．（1），；（2）.
变式2．（Ⅰ）.（Ⅱ）
例5．
变式1.
变式2．D
例6.
变式1.
变式2．1176
例7．9
变式1．2016
变式2．A
巩固练习
1．（1）证明略；（2）.
2．（1）；（2）
3．（1）证明略；（2）.
4．（1）；（2）5050.
5．（1）；（2）．
6．（1）；（2）．
7．（1）；（2），．
8．（1）；（2）.
9．（1）；（2）.
10．（1），；（2）
11．证明略，；.
12．2020
13．B8
11
知识梳理
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。
如： ； 等。
裂项相消法
裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：
(1)，，
(2)
(3)
(4)
(5)
错位相减法
这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ，
其中和 一个是等差数列，一个是等比数列.
典例解析
考点1：分组求和法
例1．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和.
变式1．设为等差数列，为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
例2.（2014湖南）已知数列的前项和 .
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
变式1.（2016天津文）已知是等比数列，前项和为，且 .
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和.
变式2．在数列中，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
考点2：裂项相消法
例3．设等差数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和为.
变式1．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和。
考点3：错位相减法
例4．已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和 .
变式1．已知正项等差数列中，为其前n项和，，，等比数列的前项和.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
考点4倒序相加法
例5．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．
变式1.已知函数，则
变式2．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
考点5：并项求和法
例6.已知数列，满足，是其前项和，求
变式1.已知数列，满足，是其前项和，求
变式2．已知数列满足，则前48项之和为___________.
考点6：周期性和法
例7．在数列中，，，，则___________.
变式1．已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．
变式2．已知数列通项公式，其前n项和为，则（ ）
A．1010 B．2020 C．505 D．0
巩固练习
1．已知数列满足，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
2．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
3．记数列的前项和为，若，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求的表达式．
4．在正项等比数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前100项的和.
5．已知为等差数列，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行
第二行 4 6 9
第三行 12 8 7
请从①，②，③ 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
6．已知等比数列的各项均为正，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
7．已知等差数列的前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围.
8．已知数列的前n项和为，满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
9．已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
11．已知数列满足，.
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和.
12．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
13．已知数列，则（ ）
A．-48 B．-50 C．-52 D．-49
5.4.2数列求和答案
典例解析
例1．（1）；（2）.
变式1．（1）（2）
变式2．（1）；（2）
例2.（1） （2）
变式1.（1） （2）
变式2．（1）证明略；（2）.
例3．（1）；（2）.
变式1．（1）；（2）.
变式2.（1） （2）
例4．（1），；（2）
变式1．（1），；（2）.
变式2．（Ⅰ）.（Ⅱ）
例5．
变式1.
变式2．D
例6.
变式1.
变式2．1176
例7．9
变式1．2016
变式2．A
巩固练习
1．（1）证明略；（2）.
2．（1）；（2）
3．（1）证明略；（2）.
4．（1）；（2）5050.
5．（1）；（2）．
6．（1）；（2）．
7．（1）；（2），．
8．（1）；（2）.
9．（1）；（2）.
10．（1），；（2）
11．证明略，；.
12．2020
13．B8
11