5.5数学归纳法 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）

5.5数学归纳法（新课）
知识梳理
数学归纳法证明
概念： 用来证明某个命题在任意一个给定的情形都是正确的。
一般步骤：
1）当n=1时，显然成立。
2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立， 则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。
由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。
特点归纳： 已经总结出规律，只要能够证明规律的正确性，就不需要逐步推算，可节省时间和资源
数学归纳法的核心思想 - 逆向递推 迭代的核心思想 - 正向递推
关于数列求和的不等式的证明
对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况：
可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。
不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。
关于放缩： ①考虑放缩的方向；
②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；
③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。
典例解析
考点一：数学归纳法
例1．用数学归纳法证明不等式的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ）
A． B．， C．， D．，
变式2．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．恒成立 D．恒成立
例2．试用数学归纳法证明.
变式1．已知数列满足，且．
（1）用数学归纳法证明；
（2）设，求数列的通项公式．
变式2．已知数列满足，.
（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当时，.
考点二：直接求和再证不等式
例3.数列的前项和为，且，。
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：.
变式1.已知数列的前项和，且，
(1)求数列的通项；
(2)设，，若，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，，是数列的前项和，证明
考点三：先放缩再求和（放缩成裂项相消模型）
例4.数列的前项和为,已知，，，
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：对一切正整数，有。
变式1.题干同例4，证明：对一切正整数，有。
变式2.题干同例4，证明：对一切正整数，有。
变式3.题干同例4，证明：对一切正整数，有
考点四：先放缩再求和（放缩成等比数列模型）
例5.已知数列满足，，
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：。
变式. 已知数列，，满足。
(1)求
(2)的前项和为，求证＜ 。
巩固练习
1．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前项和为,用数学归纳法证明:.
2.已知数列的前项和（为正整数）
(1)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和。
3. 正项数列的前项和满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和，证明：对任意的，都有
5.5数学归纳法答案
典例解析
例1．B
变式1．D
变式2．D
例2．证明略
变式1．（1）见解析；（2）.
变式2．（1），，，（2）证明略
例3.（1）（2）略
变式1.（1）（2） （3）略
例4.（1） 4 （2） （3）略
变式1.略
变式2.略
变式3.略
例5.（1） （2）略
变式.（1）. （2）＜ 放缩等比求和即可。
巩固练习
1．（1）.（2）证明略
2.
3. （1）.（2）略
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