6.4导数的综合问题 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）

6.4 导数的综合问题（补充）（新课）
典例讲解
考点一：恒成立与存在性问题
例1：已知函数，其中e是自然对数的底数。
(1)证明：是R上的偶函数；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知正数a满足：存在,使得成立,试比较与的大小，并证明你的结论。
变式1：已知函数，
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求证,当时,；
(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值。
变式2：已知函数,.
(Ⅰ)函数在点处的切线与直线平行,求函数的单调区间；
(Ⅱ)设函数的导函数为,对任意的,若恒成立，求的取值范围。
考点二：零点问题
例2.（讨论零点个数）(2014·陕西文科·T21)(本小题满分14分)设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.
(2)讨论函数g(x)=f ' (x)-零点的个数.
(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
变式1.（2014·四川高考理科·Ｔ21）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.
变式2（2013·山东高考理）设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值；
(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．
例3.（引入未知零点）（2015高考新课标1，文21）（本小题满分12分）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.
变式1．（2013·新课标II高考理）已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
变式2. 设函数，若，不等式， 恒成立，求整数的最大值。
考点三：双变量问题
例4：设函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有两个极值点,,且,求证：.
变式1：已知常数,函数,.
(1)讨论在上的单调性；
(2)若在上存在两个极值点,,且，求常数的取值范围。
变式2：已知函数，g（x）=x++f′（x）
（Ⅰ）讨论h（x）=g（x）﹣f（x）的单调性；
（Ⅱ）若h（x）的极值点为3，设方程f（x）+=0的两个根为x1，x2，且≥ea，求证：＞．
巩固练习
1：已知，.
(1)求函数在上的最小值；
(2)对一切,恒成立，求实数的取值范围；
2.已知函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)证明:当时，；
(3)确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有
3：已知
（1）讨论的单调性
（2）若对恒成立，求实数的取值范围。
4：已知f(x)=(x-1)+1,x∈[0,1]
(Ⅰ)证明：f(x)0
(Ⅱ)若在x∈(0,1)恒成立，求b-a的最小值。
(Ⅲ)证明：f(x)图象恒在直线的上方。
5：已知函数.
(1)当时,求f(x)在区间上的最大值与最小值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当 16．已知函数.
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；
（3）若，讨论函数在上的零点个数．
7．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间
（2）设，若函数在有两个零点，求的取值范围
8．已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
9．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，证明：.
6.4导数的综合问题答案
例1.（1）略（2）
（3）①②③
变式1.（1）（2）略（3）2
变式2.（1）（2）
例2.(1) 极小值为2. (2)m>,无零点;m=或m≤0,一个;0变式1.（1）当时， ；当时， ；
当时， ． （2）的取值范围为.
变式2.(1)增区间是，减区间是，最大值为f＝e－1＋c.
(2) 当c<－e－2时，根个数为0；当c＝－e－2时，根个数为1；当c>－e－2时，根个数为2.
例3.（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）略
变式1．(1) m＝1. (－1,0)递减，在(0，＋∞)递增． (2) 用引零点来证明
变式2 整数的最大值为3.
例4.（1）a=2
（2）；
（3）略
变式1.（1）；
（2）
变式2 （1） （2）略
巩固练习
1.（1）（2）
2.（1）（2）略（3）
3：（1），（2）
4：（1） 略（2）（3）略
5：（1）
（2）（3）
6．（1）1；（2）；（3） 时，函数在上的零点个数为0；
时，函数在上的零点个数为1；
，函数在上的零点个数为2.
7．（1）在单调递增，在单调递减；（2）.
8．（1）最大值为；（2）证明略.
9．（1）（i）若，单调递增. （ii）若， 单调递减，单调递增. ；（2）证明略.
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