5.1数列基础 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）

5.1数列基础（新课）
知识梳理
数列的概念：
定义：一般的，我们把按照确定的顺序排列的一列数成为数列。
一般形式：数列的一般形式可以写成 ( javascript: )简记为{an}。
项：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
数列的通项公式：
数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如 ( javascript: )。
数列通项公式的特点：
1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；
2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
数列的递推式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列递推公式特点：
1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。
2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。
典例解析
考点一：数列的概念
例1. 若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
变式1. 数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
变式2. 已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
例2. 已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
变式1. 数列中，.
（1）是数列中的第几项？
（2）为何值时，有最小值？并求最小值.
变式2. 若数列的通项公式是，则（ ）
A. B. C. D.
考点二：数列中的递推
例3. 设，那么等于（ ）
A. B.
C. D.
变式1. 已知数列满足，，则（ ）
A. 13 B. 15 C. 30 D. 40
变式2. 在数列中，已知，，，则等于（ ）
A. B. C. 4 D. 5
例4. 在数列中，，则（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
变式1. 数列{an}的首项a1＝2，且（n+1）an＝nan+1，则a3的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
变式2. 在数列{}中，若，，则=
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
巩固练习
1. 数列1，，5，，9，…的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
2. 在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D. 3
3. 在数列中，，，则（ ）
A. -2 B. 1 C. D.
4. 已知数列满足.
（1）计算；
（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.
5. 已知两个数列的前5项如下：
：25，37，49，61，73，…
：1，4，9，16，25，…
（1）根据前5项的特征，分别求出它们的一个通项公式.
（2）根据第（1）题的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项.
6. 数列，3，，，…，则是这个数列的第（ ）
A. 8项 B. 7项 C. 6项 D. 5项
7. 数列的通项公式不满足下列递推公式的是.
A.
B.
C.
D.
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（ ）.
A. B. 1 C. D. 2
9. 已知数列满足，（其中且）.求数列的通项公式；
10. 若数列满足，，，求数列通项公式.
11. 已知数列满足，，，则（ ）
A. B. C. D. 3
5.1数列基础答案
典例解析
例1. B
变式1. A
变式2. C
例2. C
变式1.（1）第项；（2）或时，最小值为
变式2. A
例3. D
变式1. D
变式2. B
例4. B
变式1. B
变式2. B
巩固练习
1. D
2. A
3. C
4.（1）.，，，.（2）
5.（1）；（2）存在，是两个数列的第13项
6. C
7. D
8. B
9. ；
10.
11. A
3