5.2等差数列 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）

5.2等差数列（新课）
知识梳理
等差数列的递推式：
等差数列的通项公式：
等差数列的前项和公式：
等差数列的性质：
(1)对于等差数列，若，则.
(2)若数列与为等差数列，则仍为等差数列
(3)是关于的一次式或常数函数，则也是一个等差数列
(4)，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，，成等差数列
(5)
(6)若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为 ，则.
典例解析
考点一：通项及前项和的基本应用
例1．设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
变式1．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　）
A．0 B．10 C．15 D．30
变式2．在等差数列中，若，，则公差d=（ ）
A． B． C．3 D．－3
例2．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
变式1．已知等差数列的前项和为（），若，则（ ）
A．6 B． C． D．
变式2．在等差数列 中，有 ，则该数列的前 项之和为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知数列满足，且，那么（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式1．已知数列满足,,则等于（ ）
A．－54 B．－55 C．－56 D．－57
变式2．已知数列满足（）,且，，则（ ）
A． B． C． D．
例4．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
变式1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月的入贯数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
变式2．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
考点二：性质及应用
例5.（2013·辽宁高考理）下面是关于公差的等差数列的四个命题：
：数列是递增数列； ：数列是递增数列；
：数列是递增数列； ：数列是递增数列．
其中的真命题为 ( )
, , , ,
变式1．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，成等差数列，则，，成等差数列
B．若，，成等差数列，则，，成等差数列
C．若，，成等差数列，则，，成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
变式2．已知等差数列的前项和为，，与的等差中项为2，则的值为（ ）
A．6 B． C．或6 D．2或6
例6.设等差数列的前项和为，若，则______.
变式1.等差数列中，，则______,______.
变式2.设是等差数列的前项和，若，则______.
例7.等差数列的前项和分别为 ，且，则________
变式1．已知两个等差数列和的前项和之比为，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2.设等差数列的前项和分别为，若对任意自然数都有，则______.
考点三：前项和最值
例8．已知数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为
A．14 B．13或14 C．12或11 D．13或12
变式1．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）
A．9 B．7 C．8 D．6
变式2．已知等差数列，其前项和为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例9．设等差数列的前n项和为，若，则满足的最小正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．13
变式2．已知等差数列满足，，，其前n项和为，则使成立时n的最大值为（ ）
A．2020 B．2019 C．4040 D．4038
考点四：等差数列证明
例10．已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列
（2）求数列的通项公式
变式1．已知数列满足，且（且），
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式
变式2．在数列中，，，，其中．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式
考点五：的前项和
【例11】已知是等差数列，其中
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值
【变式1】在等差数列中，，其前项和为
求的最小值，并求出取得最小值时的值
求
【变式2】设等差数列的前项和为,若,,
(1)求的通项公式;
(2)求的最小值;
(3)求数列的前项和
巩固练习
1．在数列中，，，且，则（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
2．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
3．设等差数列的前项和为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，已知，，则公差等于( )
A．3 B．-6 C．4 D．-3
5．在等差数列中，若，则的值等于（ ）
A．45 B．75 C．300 D．180
6．设是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
8．已知数列为等差数列，其前n项和，且则等于
A．25 B．27 C．50 D．54
9．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，值为（ ）
A．6 B．6或7 C．8或9 D．9
10．数列满足且，则的值是（ ）
A．-2 B． C．2 D．
11．设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
13．等差数列前项和为，已知则中第_________项最大.
14．设等差数列的前项和为，若，则 ________．
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝_____．
16．在等差数列（）中，若，，则的值是______.
17．等差数列的前项和为，若，则_____．
18．设等差数列前n项和为．若，，则________，的最大值为________．
19．已知数列满足，（）.
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的通项公式
20．在数列{an}中a1＝1，an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
（1）证明：数列{}为等差数列，
（2）求数列{an}的通项公式；
21.在公差为的等差数列中，已知且．
(1)求；
(2)若，求
5.2等差数列答案
典例解析
例1．B 变式1．C 变式2．C
例2．D 变式1．B 变式2．B
例3．C 变式1．C 变式2．C
例4．C 变式1．D 变式2．A
例5.D 变式1．C 变式2．C
例6.45 变式1.9,25 变式2.
例7. 变式1．C 变式2.
例8．D 变式1．D 变式2．C
例9．C 变式1．C 变式2．D
例10．（1）证明略；（2）.
变式1．（1）证明略；（2）.
变式2．（1）证明略；（2）.
例11.(1) (2)
变式1.(1)时，取最小值为(2)
变式2.(1)(2)，取最小值为(3)
巩固练习
1．B
2．B
3．D
4．B
5．D
6．B
7．B
8．B
9．A
10．C
11．B
12．D
13．6
14．
15．-42
16．-15
17．70
18．4 42
19．（1）证明略；（2）；.
20．（1）证明略，（2）；
21.（1）或；或
（2）