5.3等比数列 讲义+练习-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册（含答案）

5.3等比数列（新课）
知识梳理
等比数列的递推式：
等比数列的通项公式：
等比数列的前项和公式：
等比数列的性质:
(1)在等比数列中，若，则
(2)若与是等比数列，则，，和()仍是等比数列.
(3)若数列是等比数列，是其前项的和，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等比数列(是偶数，时不成立)
考点一：通项及前项和的基本应用
例1．已知数列中，，，则等于　　
A．18 B．54 C．36 D．72
变式1．数列满足：，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
变式2．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例2．已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．54 C．162 D．243
变式1．等比数列的各项均为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为，则=（ ）
A． B． C． D．
例3．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40 B．60
C．32 D．50
变式1．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
例4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )
A． B． C． D．
变式1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ）
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
变式2．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ）
A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天
考点二：性质及应用
例5．已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知等比数列中，，，为方程的两根，则（ ）
A．32 B．64 C．256 D．
变式2．在正项等比数列中，，则（ ）
A．5 B．10 C．20 D．50
例6．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的值为（ ）
A． B．8 C．2 D．
变式1．已知递增等差数列的前项和为，若，，4，成等比数列，则（ ）
A．36 B．32 C．28 D．30
变式2．等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
例7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
变式1．正项等比数列，若向量，，，则
A．12 B． C．5 D．18
变式2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为　　
A． B． C． D．不存在
例8.设等比数列的前项和为，若则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
变式1.等比数列的前项和为，,则_________.
变式2.设是等比数列的前项和，若，则_________.
考点三：等比数列的证明
例9．在数列中，．
（1）证明：数列是等比数列。
（2）求数列的通项公式。
变式1．已知数列中，且.
（1）求，，并证明是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
变式2．设数列的前n项和为,,满足,,．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
巩固练习
1．已知是等比数列，，则公比=（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知等比数列中，，，则的值为（ ）
A．30 B．25 C．15 D．10
3．已知公比不为1的等比数列的前项和为，，且成等差数列．则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列满足，，则（ ）
A．-48 B．48 C．48或-6 D．-48或6
5．在正项等比数列中，，，数列满足，则数列的前6项和是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
6．等比数列各项为正数，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知为数列的前项和，且满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的前项和为，，，则（）
A． B． C． D．
9．在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )
A．16 B．32 C．6 4 D．256
10．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（ ）
A．80 B．120 C．150 D．180
11．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
12．已知等比数列{an}满足a1a6＝a3，且a4+a5＝，则a1＝（ ）
A． B． C．4 D．8
13．已知等比数列满足,,则（ ）
A． B． C． D．
14．等比数列的前n项和为，已知，则
A． B． C． D．
15．等比数列中，已知，则数列的前16项和为（ ）
A．20 B． C． D．
16．已知数列满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式.
17．在数列中，，.
（1）判断数列是否为等比数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式.
5.3等比数列答案
典例解析
例1．B
变式1．C
变式2．B
例2．C
变式1．B
变式2．A
例3．B
变式1．C
变式2．D
例4．B
变式1．B
变式2．B
例5．D
变式1．B
变式2．B
例6．A
变式1．D
变式2．C
例7．A
变式1．D
变式2．A
例8.C
变式1.210
变式2.
例9．（1）证明略；（2）.
变式1．（1），证明略；（2） 变式2．(1) 证明略；(2)．
巩固练习
1．D
2．A
3．D
4．D
5．C
6．B
7．A
8．C
9．C
10．C
11．A
12．D
13．C
14．A
15．B
16．（1）证明略；（2）
17．（1）证明略.（2）
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