北京版六年级数学下册四 总复习《图形与几何—立体图形的体积》教学设计

《立体图形的体积》教案
教学目标：
1、通过复习长方体、正方体、圆柱和圆锥体体积计算公式，加深学生对这些形体之间内在联系的认识。
2、进一步系统化和概括化所学知识，培养学生的初步的几何概念，提高学生解决实际问题的能力。
3、通过学生解决实际问题，感受到数学与生活的密切联系，体验到成功的喜悦，坚定学好数学的信心。
教学重点：
有关立体图形知识点的整理及体积计算公式之间的联系。
教学难点：
能运用“等积变形”的数学思想将知识融会贯通，灵活应用，并决简单的实际问题。
教学过程：
一、创设情境，激趣导入——找准有效复习的切入点
点题：同学们，今天我们一起来复习立体图形的体积。这两条金鱼漂亮吗？假如我想知道左边这条金鱼的体积，你有什么好办法？
（学生思考后汇报）
预设生1：我会准备一个量杯，倒入一定的水，把金鱼放入量杯里，那么金鱼放入前后水的体积之差就是这条金鱼的体积。（师：这个方法行吗？生：可以。）
预设生2：我家有一个长方体的鱼缸，我可以把金鱼放入装水的鱼缸中，同样的道理，金鱼放入前后水的体积之差就是这条金鱼的体积。
师：我可以把鱼缸换成圆柱体吗？课件出示：装有半杯水的圆柱体容器→金鱼掉入水中→水位上升
师：同学们，他俩所说的方法和课件演示有什么共同点呢？
生齐答：都是把金鱼的体积转化成上升水柱的体积！
师：对，这样的转化，在数学上把它称为“等积变形”。一起读一读。
你认为这里的“积”指的是什么？（生：体积。）“形”呢？（生：形状。）所以“等积变形”就是——（生：体积相等，形状不同。）
二、自主梳理，建构网络——把握有效复习的关键点
1、自主回顾知识网络
（1）口算、公式
师：说到体积，同学们，我们小学阶段都学过哪些立体图形呢？
生齐答：长方体、正方体、圆柱、圆锥。（贴出相应的立体图形）
（2）师：还记得它们的体积计算公式吗？（生：记得）我给它们标上数据，请大家拿出作业纸，完成第一题！（生独立计算，师指名4位上台板写，汇报。
①正方体：（生3）正方体的体积计算公式是V=a×a×a=a3=5×5×5=125(立方分米）
②长方体：（生4）首先转化单位1.5分米=15厘米；
长方体的体积计算公式是V=abh=15×12×10=1800(立方厘米）
③圆柱：（生5）根据所给信息，用V=лr2h计算圆柱的体积=3.14×22×10=125.6(立方厘米）
④圆锥：（生6）先求半径r=4÷2=2（厘米），V=лr2h=×3.14×22×3=12.56(立方厘米）
2、小组交流知识网络
师：同学们，咱们来看这四个公式，还记得它们是怎么推导出来的吗？接下来，请你们按4人小组进行讨论。在讨论过程中，要求所有成员都要发言，倾听要认真，并思考是否有补充。开始吧！（学生交流，教师巡视，之后汇报）
师：讨论氛围很好，谁能代表小组来汇报一下？
根据学生汇报相机课件展示：长方体的体积，我们是用摆小正方体推导的。每行摆几个就是长、摆几行就是宽、摆几层就是高。，所以长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh；
正方体是特殊的长方体，它的体积推导其实很长方体一样。当长方体的长、宽、高相等时，就成了棱长，长方体也就变成了正方体，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a×a×a=a 3；
把圆柱底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似长方体。切拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱体的底面积，长方体的高就是圆柱体的高。所以，圆柱的体积=底面积×高，用字母表示V=Sh=πr2h。
把圆锥形杯子中的水倒入等底等高的圆柱形杯子，倒3次正好倒满。所以圆锥的体积=×底面积×高，V=Sh=πr2h。
师：汇报完了，大家有什么补充吗？
3、全班展示知识网络
师：同学们，通过刚才的复习，你认为这些立体图形的体积计算之间有什么联系吗？
预设生：正方体、圆柱的体积都可以由长方体推导出。
师：看来学好长方体的体积是基础。（展示、引导、调整，得到下列知识结构图：）
4、共同提升知识网络（柱体的研究）
（1）师：这里ab表示什么？
生齐：表示长方体的底面积。
师：a×a表示什么？Πr2呢？也就是说，这几个图形都可以用底面积×高v=sh来计算。（课件出示数据）你能快速计算它们的体积吗？（指名口答汇报。）
师：观察这些算式，你又有什么发现？
预设生：前三个图形都市等底等高，它们的体积相等。）师：所以——等底等高的正方体、长方体、圆柱的体积相等。
（2）师：同学们，如果老师手上有一把锋利的刀，沿着正方体水平方向横着切一刀，会得到几个、怎么样的平面图形？（2个、同样大小的正方形）这两个正方形与正方体有什么关系？（和底面大小一样）往上一点，平切一刀呢？（也是2个和底面一样的正方形）往下，平切一刀呢？（还是2个和底面一样的正方形）。
（3）师：用同样的方法切一切长方体，会怎样？（指名生15：会得到2个和底面一样的长方形）切圆柱呢？（生：得到2个和底面一样的圆形）
（4）师:要是用这把刀平切圆锥呢？（生：不能得到……）为什么？（生：因为它上下都不一样的……）
师：所以，在数学里，像这样的立体图形，我们把它叫做柱体（课件），它们的体积都可以用底面积×高（板书：V=sh）来计算。
三、分层练习，突出重点——选好有效复习的着力点
1、“柱体体积”的巧算
（1）师：来看看下面的图形是不是柱体？（2）如下图，制造这根钢管，要用多少钢材？
（单位：厘米）
师：这个柱体的底面积是什么？（生15：这个柱体的底面积指的就是圆环的面积）它的体积怎么算？（生15：用圆环的面积×高，就能算出）师转向所有同学：你们也会算吗？拿出练习纸，完成第2题。（师：谁来汇报？生16投影作业汇报：先算出圆环的内半径=4÷2=2厘米，外半径6÷2=3厘米，V=3.14×（32-22）×20=314立方厘米。）
2、“等积变形”的妙用
师：同学们，柱体是一类有趣的图形，当然，圆锥也很值得研究！
（1）课件动态演示：（圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。）
师：请看大屏幕，假如我把装满水的圆锥容器放进与它等底等高的圆柱里面，然后在圆锥容器的下方扎一个洞，水漏光后，会有什么情况？
生：原来圆锥中水的体积就转换成与它等底等高的圆柱的体积。
师：同学们，这其实就是——“等积变形”。如果把圆锥的体积看成1份，那和圆锥等底等高的圆柱的体积就可以看成（3）份（课件演示）。
师：根据得出的结论，你能完成作业纸第3题吗？
3、一个圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是5厘米。
师：谁来说说想法？
①如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是（ ）厘米。
生：根据“等积变形”，橡皮泥体积不变，圆锥和圆柱的底面积又相等，那么圆锥的高只能长高到圆柱的3倍了，5×3=15厘米。（课件展示学生思路）
（也就是说如果它俩长得一样胖，那么圆锥就要长高、长高、长高，长到高是圆柱的3倍，体积就相等了。这其实就是“等积变形。”）
②如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
生：根据“等积变形”，橡皮泥体积不变，圆锥和圆柱的高又相等，那么圆锥的底面积只有变大到圆柱的3倍了，12×3=36（平方厘米）。（课件展示学生思路）
（也就是说如果它俩长得一样高，那么圆锥就要长胖、长胖，长到底面积是圆柱的3倍，体积就相等了。这还是“等积变形。”）
4、口答巩固。
师：看来，巧用“等积变形”能让问题变得更简单明了。要不要再来挑战一下？
（1）将一个底面是10平方厘米，高15厘米的圆锥形钢材锻造成一个与它底面积相等的圆柱，圆柱的高是（ ）分米。
（2）一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米，那么圆锥的体积是（ ）立方厘米。圆柱的体积是（ ）立方厘米。
（3）把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是50立方分米，这段木料的体积是（ ）立方分米。
（4）如图，这个立体图形的体积是240厘米3 ，假设圆柱与圆锥的高相等，那么圆锥的体积是 ( )立方厘米。
四、综合应用，拓展提升——重视有效复习的延伸点
师：“等积变形”果然好用！同学们，复习到这儿，相信大家对立体图形的体积掌握得更扎实了。接下来，我们就用今天所复习的内容完成作业纸第2页。（学生独立完成，然后汇报。）
1、你知道金鱼的体积是多少吗？
把另一条金鱼也完全浸没在一个长为15厘米，宽为10厘米，高为10厘米的长方体容器中，水没有溢出，且量得水面上升了0.3厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？
预设生：其实，这也是等积变形，把金鱼体积转化成了上升水柱的体积，所以只需要计算上升的0.8厘米的水柱体积就可以知道第二条金鱼的体积。15×10×0.3=45（立方厘米）。
2、沙堆能铺多长？
一个圆锥形的沙堆，底面积是15平方米,高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多长？
预设生：这也是等积变形，沙堆的体积就等于长方体的体积，2厘米=0.02米；×15×1.2=6立方米，长方体底面积10×0.02=0.2平方米，6立方米÷0.2平方米=30米
3、你知道酒瓶的容积是多少吗？
有一种酒瓶，内装一部分酒（如图所示），当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是17厘米，瓶口向下时，余下部分的高是3厘米，求这种酒瓶的容积是多少毫升？
预设生：这还是等积变形。瓶口向上和向下放时，里面的酒没有发生变化，两种放置时的空白部分体积也就相等了。酒瓶的容积就等于把左边酒的体积加上右边空白部分体积。r=8÷2=4厘米，V=3.14×42×（17+3）=1004.8（立方厘米）=1004.8（毫升）。
师：请看大屏幕，他的思路是不是就是这样的过程？
五、课堂小结：今天的课，你们有什么收获？
师：同学们，复习、巩固，就会有新收获。今天的课，你有什么收获？
师：同学们，生活处处有数学，数学处处有惊喜！只要你们带着一双慧眼，用心观察，你就会发现数学世界的别样风景。今天的课就上到这儿！