2020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第16讲 二元一次方程组
一、单选题
1．（2020七下·泰兴期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x﹣y；③ +y＝5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2；⑥6x﹣2y；⑦x+y+z＝1；⑧y（y﹣1）＝2x2﹣y2+xy
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020七下·北京期中）二元一次方程3x + 2y = 12的解可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019七下·哈尔滨期中）下列方程组的解 是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020七下·仁寿期中）二元一次方程 的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
5．（2020七下·江都期中）若 是关于x、y的二元一次方程，则a=（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．2和-2
6．（2020七下·江阴期中）已知 是方程组 的解，则a-b的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
7．（2020七下·九台期中）若关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝3，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．（2020七下·蓬溪期中）若方程组 的解x，y相等，则k的值为( )
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
二、填空题
9．（2020七下·顺义期中）已知 是关于x、y的方程 的解，则 ．
10．（2020七下·蓬溪期中）若关于x、y的方程x|k|﹣1+（k﹣2）y ＝6是二元一次方程，则k＝ ．
11．（2020七下·泰兴期中）关于x,y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了.不过仍能求出m，则m的值是 .
12．（2020七下·越城期中）小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★，这个数★＝ ，●＝ ．
13．（2020七下·孝感期中）已知方程 是二元一次方程，则mn＝ ；
14．（2020七下·抚宁期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
15．（2020七下·武昌期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组 的解为 .
16．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c= ．
三、解答题
17．试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．
18．小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月
19．（2020七下·鼓楼期中）已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，求a、b的值.
20．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：①xy+2x﹣y＝7属于二元二次方程，故错误；
②4x+1＝x﹣y、④x＝y属于二元一次方程，故正确；
③ +y＝5是分式方程，故错误；
⑤x2﹣y2＝2属于二元二次方程，故错误；
⑥6x﹣2y不是方程，故错误；
⑦x+y+z＝1属于三元一次方程，故错误；
⑧y（y﹣1）＝2x2﹣y2+xy属于二元二次方程，故错误.
综上所述，属于二元一次方程的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】一个方程整理成一般形式后，如果含有两个未知数，且未知数项的最高次数是一次的整式方程就是二元一次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当x=0，y=6时，方程左边=3×0+2×6=12，右边=12，左边=右边，故x=0，y=6是二元一次方程3x + 2y = 12的解.
故答案为：A.
【分析】直接将选择项中x，y的值代入二元一次方程3x + 2y = 12，即可判断
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A、把 代入方程组 ，可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
B、把 代入方程组 ，可得 是方程组中任何一个方程的解，故本选项符合题意；
C、把 代入方程组 ，可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
D、把 代入方程组 可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把 代入每一个方程组，看看是否是方程组中两个方程的解即可．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：任意一个二元一次方程都有无数组解，
故答案为：D．
【分析】根据方程的解的定义，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，
解得：a=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得：|a|-1=1，且a-2≠0，解可得答案.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将 代入 得： ，
解之得： ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】将 代入 ，化简即可求出a，b的值，然后计算a-b即可.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵x+y=3
∴x+2y=3m-1可变为3+y=3m-1
∴y=3m-4
∵x+y=3，x-y=5
∴2x=8，x=4，y=-1
∴-1=3m-4
∴m=1
故答案为：D.
【分析】根据x+y以及x-y的值即可得到x和y的值，由x和y的值计算得到m的值即可。
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由 的解x，y相等，得
4x+3x＝7，
解得x＝1，
x＝y＝1，
由方程的解满足方程，得
k+（k﹣1）＝3，
解得k＝2，
故答案为：C．
【分析】根据方程组的解满足方程，可得方程的解，根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
9．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入原方程，得
，
解得 .
故答案为： .
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程， 得到一个含义未知数 的一元一次方程，从而可以求出 的值.
10．【答案】-2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：依题意可得|k|﹣1=1，k-2≠0
解得k=-2
故答案为：-2．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求解．
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程组，得
解得
∴m的值是 ，
故答案为： .
【分析】首先将 代入方程组，然后求解关于 的二元一次方程组，即可得解.
12．【答案】﹣2；8
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝12中，得：y＝﹣2，
当x＝5，y＝﹣2时，2x+y＝10﹣2＝8，
故答案为：﹣2；8.
【分析】根据方程组的解的定义，将x=5代入2x﹣y＝12中求出y的值，从而得出方程组的解，将方程组的解代入2x+y即可算出答案.
13．【答案】-2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程 是二元一次方程，
∴ 且m-2≠0，n=1，
∴m=-2，n=1，
∴mn＝-2.
故答案为：-2.
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
14．【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】 ，
方程①+②得：3x+3y=k-1,
∴x+y=,
∵原方程组的解互为相反数，∴x+y=0，
∴=0，
解得k=1.
故答案为：1.
【分析】将方程组中两方程相加，可得x+y=,由于方程组中的解互为相反数，可得x+y=0，据此解答即可.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将方程组 变形为
令
则方程组 可变形为
由题意得：
解得：
则方程组 的解为
故答案为： .
【分析】将方程组 变形为 ，对照第一个方程组，由换元法很容易得到,解二元一次方程组即可.
16．【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 与 代入得： ，
解得： ，
把 代入得：3c+14=8，
解得：c=﹣2，
则a﹣b﹣c=4﹣5+2=1．
故答案为：1
【分析】因为 是正确解，代入原方程组既可以求c的值 ，又可得3a 2b=2，因为看错了系数c，但a、b并没看错，因此错误解代入方程组的第一个方程可得 a + b = 1 ，进而求出a、b.
17．【答案】解：依题可设：
100=11x+17y，
原题转换成求这个方程的正整数解，
∴x==9-2y+，
∵x是整数，
∴11|1+5y，
∴y=2，x=6，
∴x=6，y=2是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
∴k=0，
∴原方程正整数解为：.
∴100=66+34.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意可得：100=11x+17y，从而将原题转换成求这个方程的正整数解；求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
18．【答案】解：设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，依题可得：
470x+350y=7620，
化简为：47x+35y=762，
∴x==16-y+，
∵x是整数，
∴47|10+12y，
∴y=7，x=11，
∴x=11，y=7是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
k=0，
∴原方程正整数解为：.
答：他在甲公司打工11个月，在乙公司打工7个月.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，根据等量关系式：甲公司工资+乙公司工资=总工资，列出方程，此题转换成求方程47x+35y=762的整数解，求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
19．【答案】解：
和
解：联立①②得：
解得：
将 代入③④得：
解得：
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可.
20．【答案】解：设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n，
∵ 是方程组的解，
∴ ，
解得 ．
∴原来的方程组为
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将原方程组看做关于未知系数的方程组来解答即可．
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第16讲 二元一次方程组
一、单选题
1．（2020七下·泰兴期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x﹣y；③ +y＝5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2；⑥6x﹣2y；⑦x+y+z＝1；⑧y（y﹣1）＝2x2﹣y2+xy
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：①xy+2x﹣y＝7属于二元二次方程，故错误；
②4x+1＝x﹣y、④x＝y属于二元一次方程，故正确；
③ +y＝5是分式方程，故错误；
⑤x2﹣y2＝2属于二元二次方程，故错误；
⑥6x﹣2y不是方程，故错误；
⑦x+y+z＝1属于三元一次方程，故错误；
⑧y（y﹣1）＝2x2﹣y2+xy属于二元二次方程，故错误.
综上所述，属于二元一次方程的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】一个方程整理成一般形式后，如果含有两个未知数，且未知数项的最高次数是一次的整式方程就是二元一次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2020七下·北京期中）二元一次方程3x + 2y = 12的解可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当x=0，y=6时，方程左边=3×0+2×6=12，右边=12，左边=右边，故x=0，y=6是二元一次方程3x + 2y = 12的解.
故答案为：A.
【分析】直接将选择项中x，y的值代入二元一次方程3x + 2y = 12，即可判断
3．（2019七下·哈尔滨期中）下列方程组的解 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A、把 代入方程组 ，可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
B、把 代入方程组 ，可得 是方程组中任何一个方程的解，故本选项符合题意；
C、把 代入方程组 ，可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
D、把 代入方程组 可得 不是方程组中任何一个方程的解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把 代入每一个方程组，看看是否是方程组中两个方程的解即可．
4．（2020七下·仁寿期中）二元一次方程 的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：任意一个二元一次方程都有无数组解，
故答案为：D．
【分析】根据方程的解的定义，即可得出答案．
5．（2020七下·江都期中）若 是关于x、y的二元一次方程，则a=（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．2和-2
【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，
解得：a=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得：|a|-1=1，且a-2≠0，解可得答案.
6．（2020七下·江阴期中）已知 是方程组 的解，则a-b的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将 代入 得： ，
解之得： ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】将 代入 ，化简即可求出a，b的值，然后计算a-b即可.
7．（2020七下·九台期中）若关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝3，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵x+y=3
∴x+2y=3m-1可变为3+y=3m-1
∴y=3m-4
∵x+y=3，x-y=5
∴2x=8，x=4，y=-1
∴-1=3m-4
∴m=1
故答案为：D.
【分析】根据x+y以及x-y的值即可得到x和y的值，由x和y的值计算得到m的值即可。
8．（2020七下·蓬溪期中）若方程组 的解x，y相等，则k的值为( )
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由 的解x，y相等，得
4x+3x＝7，
解得x＝1，
x＝y＝1，
由方程的解满足方程，得
k+（k﹣1）＝3，
解得k＝2，
故答案为：C．
【分析】根据方程组的解满足方程，可得方程的解，根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
二、填空题
9．（2020七下·顺义期中）已知 是关于x、y的方程 的解，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入原方程，得
，
解得 .
故答案为： .
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程， 得到一个含义未知数 的一元一次方程，从而可以求出 的值.
10．（2020七下·蓬溪期中）若关于x、y的方程x|k|﹣1+（k﹣2）y ＝6是二元一次方程，则k＝ ．
【答案】-2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：依题意可得|k|﹣1=1，k-2≠0
解得k=-2
故答案为：-2．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求解．
11．（2020七下·泰兴期中）关于x,y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了.不过仍能求出m，则m的值是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程组，得
解得
∴m的值是 ，
故答案为： .
【分析】首先将 代入方程组，然后求解关于 的二元一次方程组，即可得解.
12．（2020七下·越城期中）小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★，这个数★＝ ，●＝ ．
【答案】﹣2；8
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝12中，得：y＝﹣2，
当x＝5，y＝﹣2时，2x+y＝10﹣2＝8，
故答案为：﹣2；8.
【分析】根据方程组的解的定义，将x=5代入2x﹣y＝12中求出y的值，从而得出方程组的解，将方程组的解代入2x+y即可算出答案.
13．（2020七下·孝感期中）已知方程 是二元一次方程，则mn＝ ；
【答案】-2
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程 是二元一次方程，
∴ 且m-2≠0，n=1，
∴m=-2，n=1，
∴mn＝-2.
故答案为：-2.
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
14．（2020七下·抚宁期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】 ，
方程①+②得：3x+3y=k-1,
∴x+y=,
∵原方程组的解互为相反数，∴x+y=0，
∴=0，
解得k=1.
故答案为：1.
【分析】将方程组中两方程相加，可得x+y=,由于方程组中的解互为相反数，可得x+y=0，据此解答即可.
15．（2020七下·武昌期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组 的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将方程组 变形为
令
则方程组 可变形为
由题意得：
解得：
则方程组 的解为
故答案为： .
【分析】将方程组 变形为 ，对照第一个方程组，由换元法很容易得到,解二元一次方程组即可.
16．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c= ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 与 代入得： ，
解得： ，
把 代入得：3c+14=8，
解得：c=﹣2，
则a﹣b﹣c=4﹣5+2=1．
故答案为：1
【分析】因为 是正确解，代入原方程组既可以求c的值 ，又可得3a 2b=2，因为看错了系数c，但a、b并没看错，因此错误解代入方程组的第一个方程可得 a + b = 1 ，进而求出a、b.
三、解答题
17．试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．
【答案】解：依题可设：
100=11x+17y，
原题转换成求这个方程的正整数解，
∴x==9-2y+，
∵x是整数，
∴11|1+5y，
∴y=2，x=6，
∴x=6，y=2是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
∴k=0，
∴原方程正整数解为：.
∴100=66+34.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意可得：100=11x+17y，从而将原题转换成求这个方程的正整数解；求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
18．小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月
【答案】解：设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，依题可得：
470x+350y=7620，
化简为：47x+35y=762，
∴x==16-y+，
∵x是整数，
∴47|10+12y，
∴y=7，x=11，
∴x=11，y=7是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
k=0，
∴原方程正整数解为：.
答：他在甲公司打工11个月，在乙公司打工7个月.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】设他在甲公司打工x个月，在乙公司打工y个月，根据等量关系式：甲公司工资+乙公司工资=总工资，列出方程，此题转换成求方程47x+35y=762的整数解，求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
19．（2020七下·鼓楼期中）已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，求a、b的值.
【答案】解：
和
解：联立①②得：
解得：
将 代入③④得：
解得：
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可.
20．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组 第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题．
【答案】解：设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n，
∵ 是方程组的解，
∴ ，
解得 ．
∴原来的方程组为
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将原方程组看做关于未知系数的方程组来解答即可．
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