【新课标】2012-2013学年度下学期高二第一次月考——数学（理）

2012-2013学年度下学期第一次月考
高二数学（理）试题【新课标】
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60%　　　　　　　　　 B．30%
C．10% D．50%
甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（ ）
A.0.95 B.0.6 C.0.05 D.0.4
3．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有(　　)
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
4．若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．120
5.某班有五十名学生，其中有五名班干部，现选派三名同学完成某项任务，在班干部甲被选中的条件下干部乙被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，每种树苗足够多，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ）
A．15种 B．12种 C．9种 D．6种
7．已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
4
5
621世纪教育网
7
8
9
10
P









m
则P(ξ＝10)等于(　　)
A. B. C. D.
8．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B. C. D.
9.已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是(　　)
A．6和2. 4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
方程的解的组数为（ ）
A. B. C. D.
11．如果ξ～B ，则使P(ξ＝k)取最大值时的k值为(　　)
A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错
12．由正方体的8个顶点构成的所有三角形中，任取其中的两个不共面的概率为（ ）A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若η＝2ξ－3，则η的期望为________．
14.5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为 .
15.1＋3＋32＋…＋399被4除所得的余数是________．
16.的展开式中项的系数为 .
三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为， ，,，,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在之间的工人有6位．
（1）求；
（2）工厂规定从个人中任取5人，所选5人任意两人不同组的概率是多少？
18．（本题满分12分）
口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则
（1）第一次取出的是红球的概率是多少？
（2）第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
（3）在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的的概率是多少？
19．（本题满分12分）
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的期望和方差.
20．（本题满分12分）
某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.
（1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.
21．（本题满分12分）
如图，底面是矩形的四棱锥P—ABCD中AB=2，BC=，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；[来源:21世纪教育网]
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．
22．（本题满分12分）
设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.
(1)求线段中点的轨迹方程；
(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；
(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.
21世纪教育网
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参考答案21世纪教育网
选择题 DABBB DCDBD BA 二、填空题 3; 150;0;-5
三、解答题
1、解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在内的人数为
，则（位）． 4分
（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在， ，,，,21世纪教育网
组内的人数分别为2，4，6, 5，3．
设选取这5人不在同组为B事件，则．
答：选取这5人不在同组的概率为． 10分
2、解： 记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球. 2分
（1）P（A）== 4分
（2）P（AB）== 7分
（3）P（B|A）=P（AB）/P（A）=/= 12分
3、解:（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ~B,即有P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5. 4分
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Eξ=np=5×=;Dξ=npq=5××=. 12分
4、解： （1）X的可能取值为0，1，2，3.根据公式P（X=m）=算出其相应的概率，
即X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
8分
（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为
P（X=1）+P（X=2）=+=. 12分
5、（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB 又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB 又∵BC侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC） 4分
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE 又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角21世纪教育网
21世纪教育网
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求 8分21世纪教育网
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD ∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB 又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF ∴平面PCD⊥平面PEF 作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求. 12分
6、解：（1）抛物线的准线为，设
代入得
由得
设线段的中点为，则消去，得
即为所求中点的轨迹方程； 4分
线段的垂直平分线方程为.
令,得; 8分
（3）当斜率时，
,21世纪教育网
是以为首项，以为公比的等比数列，且
故. 12分