《方程的根与函数的零点》教学设计

方程的根与函数的零点
教学目标：
（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系．
（2）理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个．
（3）能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．
教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．
教学难点：对零点存在性定理的准确理解．
一、教学过程
（一）创设情境，感知概念
1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象，从函数图象，分析方程的根与函数图象和X轴交点坐标关系？
函 数
方 程
图 象
方程的根
图象与x轴的交点
（2）、上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
推广：任意函数的图象与X轴交点的横坐标就是相应的方程f(x)＝0的根。
2、观察、分析得出对函数零点的几点认识
（1）函数零点的概念：对于函数，把使______________成立的实数叫做函数的零点．
（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程_____________的实数根，亦即函数的图象与轴____________．
说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
等价关系：
求下列函数的零点：
（3）函数零点的求法：求函数的零点：
 （代数法）求方程_________的实数根；
 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数___________联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
（1）_____0（＜或＞），在区间上有零点吗？______；
（2）____0（＜或＞）在区间上有零点吗？______；．
（Ⅱ）.（1）观察下面函数的图象：
 _____0（＜或＞在区间上______(有/无)零点；．
 _____0（＜或＞）在区间上______(有/无)零点；．
 _____0（＜或＞）在区间上______(有/无)零点；．
（2）思考：函数在区间内有零点，则需要满足什么条件？
（3）零点存在性定理：如果在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。
（4）注意：此性质成立的前提是图象是连续不断的一条曲线。
零点并不一定是唯一的，但一定存在。
判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．( )
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．( )
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．( )
三．例题研究：
1、方程– x 3 – 3x + 5=0的根所在的大致区间为（ ）
A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2)
2、求函数的零点个数．
四、总结整理，提高认识．
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：

（2）思想方法小结：函数方程思想；数形结合思想．
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
五、作业
习题3.1 1、2