北师大版（2019）高中数学 必修第二册 6.3 点到平面的距离之等体积法(2) 课件 (共37张PPT)

(共37张PPT)
高考备考专题复习
点到平面的距离之等体积法
空间距离是高考的高频考点
由于线线、线面和面面间的距离均可以转化为 点到平面的距离来求
因此，点到平面的距离是最基础也是最重要的。
今天就来学习求点到平面距离的较简便有效的方法——等体积法。
等体积法就是构造一个三棱锥，利用三棱锥换底后体积不变法来求点到平面的距离。
等体积法求点到平面的距离
构造一个以此距离为高的三棱锥，转化为三棱锥的高通过等体积变换求解
思路
三棱锥以任意一个面为底都还是三棱锥，而且体积不变
依据
换成哪个面为底体积容易求
关键
能有效避开“直接法”的难及“向量法”的既难又繁
优点
例1.【04年全国卷I，节选】
如图，已知四棱锥 P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。求点P到平面ABCD的距离。
A
B
C
D
P
此题若用直接法，则很难作出距离线段；
若用向量法，则很难建立坐标系，且计算也繁琐。
若用等体积法就简便多了。
分析
如图，已知四棱锥 P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。 求点P到平面ABCD的距离。
A
B
C
D
P
例1.【04年全国卷I，节选】
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
A
B
C
D
P
E
设点P到平面ABCD的距离为h,
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
A
B
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
A
B
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
A
B
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
A
B
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
∴ AE·BE· h =PE·BE·AE· sin120°,
A
B
C
D
P
E
解：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵ ΔPAD为等边三角形，
∴ PE⊥AD ，又∵ PB⊥AD，
∴ AD⊥平面PBE，∴ AD⊥BE，
∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。
设点P到平面ABCD的距离为h,
∵ VP-ABE= VA-PBE
∴ AE·BE· h =PE·BE·AE· sin120°,
A
B
C
D
P
E
∴ h= ,
∴ 点P到平面ABCD的距离为 。
点评
本题巧妙地借助二面角PEB所在平面与棱AD的垂直关系构造了三棱锥P—AEB，并通过换底利用等体积法解决，从而避免了直接作点P到平面ABCD的距离而求。
点评
练一练
已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
练一练
已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
此题直接法既难又繁，向量法显然是小题大做，用等体积法就非常简洁。
练一练
已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
例2
例2
直接法：作距离线段，太难！向量法：文科生没学过！
等体积法：巧妙解决！
例2
解：由已知得 , , ,
∵ VC-POM= VP-COM ,
设点C到平面POM的距离为h,
∴ OP·OM· h =OC·CM·OP· sin45°,
技法归纳
用三棱锥等体积法求点到平面的距离，可以很好地规避“直接法”的作距离线段以及“向量法”的建立坐标系的“既难又繁”。
技法归纳
这节课就到这里
再见