2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.1平面向量的概念课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1平面向量的概念
人教A版（2019）必修第二册
2、请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？
G
F
1.小船快速向东南方向航行
2.桌面承受物体的重力
3.浮力让物体浮起来
1、请同学们回忆物理里面，标量是什么 ？矢量是什么？
新课引入
力、位移、速度各有特性，但也有共同属性，请问共同属性是什么？
在现实生活中，一些量如长度、面积、质量、年龄等和刚才几个量一样吗？
只有大小，数学中称之为数量.
既有大小，又有方向.大家猜猜数学中称之为什么？
新课引入
物理 数学
标量 数量
矢量 ？
在现实生活中，我们接触过很多量，像力、位移、速度等这些物理量既有大小，又有方向．而比如一支笔、一棵树、一本书……，只有大小却没有方向，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度等这些量进行抽象形成一种新的量，也就是向量．
数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量．
探求新知
向量的两要素：方向、大小
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；
向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
数量与向量的联系与区别
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.
探求新知
下列不是向量的是（ ）
① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度;
⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.
① ④ ⑥⑦ ⑧
【即时训练】
有人说：由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量.
你同意吗？温度、角度是向量吗？为什么？
【解】海拔不是向量，它只有大小没有方向.
海拔的正负不表示方向，只表示在海平面的上方还是下方.
同理，温度和角度也不是向量，因为它们没有方向.
向量的几何表示
向量
探求新知
由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量. 那么，该如何表示向量呢？
数量 实数 数轴上的点
O
3
-2
大小
大小+方向
？
由A地向东南方向航行15海里到达B地
东
西
北
南
45o
向量的几何表示
探求新知
以小船位移为例：
以A为起点，B为终点，可以用连接A、B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.
受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向.
A
B
起点
终点
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向
向量的几何表示
探求新知
具有方向的线段叫做有向线段.
有向线段三要素：起点、方向、长度.
知道了有向线段的起点、方向和长度,
它的终点就唯一确定了.
以A为起点，B为终点的有向线段，
记作 .
AB
起点字母写在前面.
向量用有向线段AB来表示,我们把这个向量
记作向量AB，有向线段的长度表示向量
的大小,也叫模，记作
有向线段的方向表示向量的方向.
用有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
AB
| |.
AB
在有向线段的终点处画上箭头
（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
思考问题
探求新知
【1】从定义上看，它们都是既有大小又有方向的量，但有向线段不是向量．向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，因此这是两个不同的量；
【2】在平面内，向量可以自由平移，而有向线段是固定的线段；
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段是向量.
A(起点)
B(终点)
我们用有向线段表示向量，用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小，与起点的具体位置无关．
思考问题
（2）向量与有向线段的起点位置有关吗？
探求新知
向量可以用字母a，b，c，…表示
a
b
c
向量的字母表示法
在印刷时，用黑体小写字母a,b,c……表示向量，但手写时要写成带箭头的小写字母 ……
向量的字母表示法
思考：除了用有向线段表示向量，还有别的方法表示向量吗？
探求新知
向量的长度/模
向量 的大小称为向量 的长度(或称模)，记作 ．
长度为0的向量叫做零向量(zero vector)，记作0，即|0|=0.
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量(unit vector)．若向量e为单位向量，则|e|=1.
向量的有关概念
特殊向量
注意：(1)零向量0的方向是任意的，所有的零向量0都相等.它与数字0不一样，数字0仅仅是一个只有大小的实数.
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等.
探求新知
D
【即时训练】
P
思考: 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
圆的半径是多少？
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
（2）向量的模是一个正实数（ ）
注意: 向量不能比较大小，向量的模可以比较大小
（3）若|a|>|b| ，则a > b （ ）
例题2 如图所示，若每一个小格的边长均为1，指出图中各向量的长度，哪些是单位向量？
例题3 判断正误.
有意义
没有意义
探求新知
向量间的关系
思考：观察右图,你有什么发现？
记作 a ∥b ∥c
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：0与任意向量平行。即对于任意向量a，都有0∥a
这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．
a
b
c
O
A
B
C
l
探求新知
向量间的关系
如图，a, b, c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出
注意：区别于平面几何中的直线平行。平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的。
思考：如图所示两个向量 ，若两个向量大小相等，则它们是相同的向量吗？
是大小相等但方向相反的两个向量。这样的两个向量叫做相反向量。
同理可得，大小相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。
注：向量是否相等（或相反）只与大小和方向有关，与起点、终点的位置无关. 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量
与 长度相等,方向相反的向量叫 的相反向量.记为
探求新知
向量间的关系
a与b相等，记作 a =b .
规定：0 = 0
1.若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系
几个容易混淆的知识
2.相等向量一定是平行向量吗？平行向量一定是相等向量吗？
3.如果 ，那么 吗
向量的平行不具有传递性，当 =0时，则不平行，只有当 ≠0才能得到平行。
向量相等 向量平行
探求新知
向量间的关系
若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.
（1）若非零向量AB//CD ，那么AB//CD（ ）
（2）若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反（ ）
（3）平行于同一个向量的两个向量平行（ ）
例题4 如图所示，找出其中平行的向量.
找出其中共线的向量.
例题5 判断正误.
注意零向量
找出与向量a平行的向量.
例题6 如图所示，已知四边形ABCD，则“四边形ABCD为平行四边形”是“ ”的什么条件？
A
B
C
D
例题 如右图，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)写出图中的共线向量；
(2)分别写出图中与 相等的向量.
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.(　　)
(2)向量就是有向线段．(　　)
(3)零向量是最小的向量．(　　)
(4)单位向量都是同方向.(　　)
(5)长度为0的向量都是零向量．（ ）
(6)单位向量的长度都相等．（ ）
×
×
×
×
√
√
练习巩固
2．下列结论正确的是 _________（填写正确的序号）．
（1）若a与b都是单位向量，则a＝b．
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．
（4）若a与b是平行向量，则a＝b．
（5）若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点M与N不重合．
（6）海拔、温度、角度都不是向量．
(2)(5)(6)
练习巩固
3.如图，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
（1）写出与 共线的向量；
（2）写出与 的模相等的向量；
（3）写出与 相等的向量．
练习巩固
D
B
应用知识
C
④⑥
应用知识
5.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③零向量是没有方向的向量；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
6. 下面几个命题中正确的个数是（ ）
（3）若|a|=|b|，则a = b
（2）若|a|=0，则a = 0
（1）若a = b，b = c，则a = c。
A．0　　B. 1 C. 2 D. 3
B
应用知识