课件11张PPT。4.1 正弦与余弦（1）由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90o，∠A= 65o，∠A所对的边BC=2000m，求 斜边AC=？上述问题就是：知道直角三角形的一个为65o的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值有什么规律？ 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65o的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65o ，量出65o角的对边长度和斜边长度，计算：的值，结论：在有一个锐角为65o的直角三角形中， 65o角的对边与
斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．做一做已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D =∠D ' =65o，∠E =∠E'= 90o求证：∵ ∠E =∠E ' = 90o，∠D =∠D ' =65o，∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．∴因此在有一个锐角为65o的所有直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值是一个常数．于是E F · D' F '＝ E F · D' F '．∴现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65o，解得 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作:类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．即:（１）求∠A的正弦 ；
（２）求∠B的正弦 ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得于是 AC=4．因此例 题1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， BC=5，AB=13．（１）求 的值；
（２）求 的值．2．小刚说：对于任意锐角α，都有你认为他说得对吗？为什么？0 ＜ ＜1练 习２．分别求 和 的值． 解 在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， ∠A =30°．于是∠A 的对边因此又∠B=90°－30°=60°， ∠B的对边是AC ．根据勾股定理得于是例 题３．求 的值． 解 在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， ∠A =45°． 于是 ∠B =45°．从而 AC=BC．根据勾股定理，得于是因此例 题在直角三角形中，小结说一说课件8张PPT。４．１正弦和余弦（２）△ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐角等于α，即∠D =∠A = α．在Rt △ABC 中， ∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt △DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．问成立吗？∠B =90°－α＝∠E ，AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦定理结论成立在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边的比值．根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有例 题1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， AC=5，AB=7．求 ， 的值．3 ．对于任意锐角α，都有你能说出道理吗？0 ＜ ＜1∵AC＜AB∴ 0＜ ＜1．练 习答案：答案：答案：4．求下列各式的值（１）（３）（２）（１）（２）（３）考 虑对于任意角α是不是总有1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， BC=5，AB=6．求 ， 的值．做一做答案：答案：3 ．求下列各式的值．（１）（３）（２）（１）（３）（２）课件8张PPT。４．１正弦与余弦（３）画一个直角三角形ABC，使得∠A = 50°，量出∠A的对边BC的长度为3cm，斜边AB的长度为3.9cm．则不足：角的大小、线段的长度都有测量误差，因此精确度不太高，且费时间，效率低．用计算器求．用计算器求锐角的正弦值和余弦值,要用到 两个键: 例如,求sin160,cos420, sin160.275 637 355cos420.743 144 825==由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：0.76600.93970.25880.64280.34200.96592．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）． 操作 0.47720.45710.8894如果已知sinα＝0.3688，如何用计算器求锐角α？ 关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键（有的型号的计算器写的是“2ndf”键）． 3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．55°46′8°15′70°52′20°41′ 操作2ndfSin0.9816=Sin-1=0.9816
=78.991 840 39按键的顺序显示结果SinA=0.9816例题1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：0.9272 0.3746 0.9994 0. 0349 0.1564 0.9877 0.5045 0.8634 0.9715 0.2368 0.1673 0.9859 0.9900 0.14090.5736 0.3746练 习 2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．6°14′69°21′44°55′81°59′18°22′58°53′练 习3 ．如图：小亮沿与地平面成32°18′的上坡走了80 米，那么他上升了多少米（精确到1米） AB=80米， ∠A= 32°18′练 习课件9张PPT。４．２正切（１）义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.2 正切（1）观察在离铁塔130m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25o，仪器的高为1.4m，你能求出铁塔的高BD吗？AE=1.4m，AC=130m ，只要求出△ABC的边长BC，塔高等于BC加上AE即可.类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．在Rt △ABC 中， ∠A=25o， AC=130m， ∠A的对边为 BＣ．邻边为AC，因而铁塔的高在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作 tanα．tanα现在求铁塔的高．例 题例 题在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， ∠A= 30o， 于是从而因此由于∠B= 60o因此说一说 30o 45o 60o 的正弦、余弦、正切值．做一做1．用计算器求锐角的正切值（精确到0.0001）： 2．已知正切值，用计算器求相应的锐角 （精确到1′）．（１）tan21o 15′≈（２）tan89o 27′≈（３）tan5o 49′≈0.3889104.17090.1019（1）tanα＝1.2868， 则α ≈（2）tanα =108.5729，则α ≈52o 9′89o 28′练 习1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， AC=7，BC=5．求 tanA ，tanB的值．2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o，AC=2，AB=3．求 tanA ，tanB 的值． 答案：答案：3．求下列各式的值：（1）（2）（ 4 ）（ ）小结本节主要讲述： 在直角三角形中，利用正切公式求直角边的长及一些特殊角的正切值；以及利用正切公式解决实际问题．课件7张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.2 正切（2）复习在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，即：tanα例 题可以设AC=3，BC=1．在Rt △ABC 中， ∠C=90o， ∠A=α由于由于因此由于因此练一练任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值 与它对应，把锐角的正弦、余弦（或 ， ）和正切统称为锐角三角函数。2.求下列各式的值练一练（1）原式=（ 2）原式=（3）原式=（4）原式=练一练３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形，求渠口宽（精确到0.1m）．渠深为1.6m，渠底宽为1.2m，一腰与渠底所成的内角为140o，ABCDEF如图AB=1.2mAE=BF=1.6m∠ABC=140o∠FBC=140o－90o=50o在Rt △BFC 中，又DE=FC， ∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）小结锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切．灵活运用三角函数解决实际问题．tanα课件7张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.2 正切（2）复习在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，即：tanα例 题可以设AC=3，BC=1．在Rt △ABC 中， ∠C=90o， ∠A=α由于由于因此由于因此练一练任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值 与它对应，把锐角的正弦、余弦（或 ， ）和正切统称为锐角三角函数。2.求下列各式的值练一练（1）原式=（ 2）原式=（3）原式=（4）原式=练一练３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形，求渠口宽（精确到0.1m）．渠深为1.6m，渠底宽为1.2m，一腰与渠底所成的内角为140o，ABCDEF如图AB=1.2mAE=BF=1.6m∠ABC=140o∠FBC=140o－90o=50o在Rt △BFC 中，又DE=FC， ∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）小结锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切．灵活运用三角函数解决实际问题．tanα课件8张PPT。４．１正弦和余弦（２）永州市第九中学 唐建顺△ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐角等于α，即∠D =∠A = α．在Rt △ABC 中， ∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt △DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．问成立吗？∠B =90°－α＝∠E ，AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦定理结论成立在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边的比值．根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有例 题1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， AC=5，AB=7．求 ， 的值．3 ．对于任意锐角α，都有你能说出道理吗？0 ＜ ＜1∵AC＜AB∴ 0＜ ＜1．练 习答案：答案：答案：4．求下列各式的值（１）（３）（２）（１）（２）（３）考 虑对于任意角α是不是总有1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， BC=5，AB=6．求 ， 的值．做一做答案：答案：3 ．求下列各式的值．（１）（３）（２）（１）（３）（２）课件8张PPT。４．１正弦与余弦（３）永州市第九中学 唐建顺画一个直角三角形ABC，使得∠A = 50°，量出∠A的对边BC的长度为3cm，斜边AB的长度为3.9cm．则不足：角的大小、线段的长度都有测量误差，因此精确度不太高，且费时间，效率低．用计算器求．用计算器求锐角的正弦值和余弦值,要用到 两个键: 例如,求sin160,cos420, sin160.275 637 355cos420.743 144 825==由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：0.76600.93970.25880.64280.34200.96592．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）． 操作 0.47720.45710.8894如果已知sinα＝0.3688，如何用计算器求锐角α？ 关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键（有的型号的计算器写的是“2ndf”键）． 3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．55°46′8°15′70°52′20°41′ 操作2ndfSin0.9816=Sin-1=0.9816
=78.991 840 39按键的顺序显示结果SinA=0.9816例题1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：0.9272 0.3746 0.9994 0. 0349 0.1564 0.9877 0.5045 0.8634 0.9715 0.2368 0.1673 0.9859 0.9900 0.14090.5736 0.3746练 习 2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．6°14′69°21′44°55′81°59′18°22′58°53′练 习3 ．如图：小亮沿与地平面成32°18′的上坡走了80 米，那么他上升了多少米（精确到1米） AB=80米， ∠A= 32°18′练 习课件23张PPT。正 切4.2 如图4-15，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m. 你能求出上海东方明珠塔的高BD吗？图4-15 求东方明珠塔高的关键是求三角形ABC的边长BC，因为塔高等于BC加上仪器的高1.7m.要求BC，如果已知的是
则由 可求得.而现在已知的是AC，我们能不能像探索正弦值一样来探究 的值呢？ 类似地，可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值也为一个常数.定义 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作 tanα，即 我们可以用计算器求任意一个锐角的正切值，其使用方法与求正弦值或余弦值类似，只是按的键应为 键．现在你能求出图4-15中东方明珠塔的高BD吗？ 在图4-15的Rt△ABC中，∠A=25°，AC=1000m，
∠A的对边为BC，邻边为AC，
因此
从而 BC ≈ 1000×tan25°
≈ 466.3(m).
因此铁塔的高BD=466.3+1.7=468(m).举
例例1 如图4-17，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4，BC=3，求 tan A，tan B 的值．解:图4-17举
例例2 求 tan 30°，tan60°的值． 从而
AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.于是 BC = AB .因此 由此得出 AC = BC.由于∠B=60°，因此图4-18tan 45°的值是多少？ 你能说出道理吗？ 答：tan 45°= 1. 现在我们把30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下： 1. 用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001)： （1） ；（2） ；（3） ；0.3889104.17090.1019 2. 已知正切值，求相应的锐角(精确到1′)： 举
例例3 已知 ， 是锐角，
求 ， 的值． 图4-19由于 AB2=AC2+BC2=(3k)2+k2=10k2，从而 因此 AB = .由于
因此可以设 BC = k，AC = 3k，其中k≠0.由于
因此图4-19 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα(或cosα，tanα)与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 1. 如图4-20，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，
BC=5，求 tan A，tan B 的值．图4-20解: 2. 如图4-21，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=2，AB=3，求 tan A，tan B 的值.解:图4-20 3. 求下列各式的值：（1）答：4.（2）答： . 4. 已知 ， 是锐角，求
的值．解:例1 解计算：例2 在△ABC中，AC=3，BC=54，AB=5，则tanB的值是（ A ）.
A. B. C. D.结 束课件7张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.2 正切（2）永州市第九中学 唐建顺复习在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，即：tanα例 题可以设AC=3，BC=1．在Rt △ABC 中， ∠C=90o， ∠A=α由于由于因此由于因此练一练任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值 与它对应，把锐角的正弦、余弦（或 ， ）和正切统称为锐角三角函数。2.求下列各式的值（1） 原式=（2） 原式=（3） 原式=（4） 原式=练一练练一练３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形，求渠口宽（精确到0.1m）．渠深为1.6m，渠底宽为1.2m，一腰与渠底所成的内角为140o，ABCDEF如图AB=1.2mAE=BF=1.6m∠ABC=140o∠FBC=140o－90o=50o在Rt △BFC 中，又DE=FC， ∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）小结锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切．灵活运用三角函数解决实际问题．tanα课件8张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.3 解直角三角形及其应用（1）永州市第九中学 唐建顺说一说（２）直角三角形的锐角之间有什么关系？（1）直角三角形三边之间有什么关系？（３）直角三角形边与锐角之间有什么关系？如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别记作a、 b、c．做一做根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形（全等的直角三角形算一个）？（１）一个锐角为40o；（２）一个锐角为40o，它的邻边长为3cm;（３）一个锐角为40o，它的对边长为3cm;（４）一个锐角为40o，它的斜边长为3cm;（５）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm．（无数个）（一个）（一个）（一个）（一个）总结考 虑1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90o， ∠A =26o8′，b=4,求∠B 、a、 c (精确到0.01)．又∵a 是∠A 的对边，于是例 题由于从而例 题如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90o，∠A=38o12′, c=15.68cm，求∠B， a， b(精确到0.01cm)．练一练在直角三角形ABC中，∠C=90o，只要知道除直角外的任意两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的元素.小结三条边满足两个锐角满足∠A+∠B=90o，课件8张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.3 解直角三角形及其应用（2）永州市第九中学 唐建顺例 题３．如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成20o角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离（精确到1m）．BC⊥CA ，∠A=20oAB=500mBC是∠A的对边，AB是斜边，根据正弦公式，就可求出BC．从点B向河岸作垂线，垂足为C，在 Rt△ABC 中，∠C= 90o， ∠A =20o，AB=500m,由于BC是∠A的对边，AB是斜边CB答：B处与河岸的距离约为171m．例 题CD=28.5m， AD=1.5m ，∠C=90o ，AC=28.5+1.5=30m运用正切公式即可求出BC．在 Rt△ABC 中，∠C= 90o， ∠BAC =75o58'，AC=30m,由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，答：这根电线杆与这座楼的距离约为120 m．由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠C =90o，∠A= 71o34'，∠A所对的边BC=2400m，求 AC=？ 一艘帆船航行到 B处时，灯塔A在船的北偏东71o34'的方向，帆船从B处继续向正东方向航行2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向．求C处和灯塔A的距离（精确到1m）.练 习即可．在 Rt△ABC 中，∠C= 90o， ∠A =71o34'，BC=2400m,由于BC是∠A的对边，AC是邻边，答：C处与灯塔A的距离约为120 m．利用直角三角形中边与角的关系，解决实际问题，难点是分清角的对边．邻边，正确理解锐角的正弦．余弦．正切的概念．１．在 Rt△ABC 中，∠C= 90o， ∠A =28o32‘，C=7.92cm,求∠B（精确到1’），a，b（精确到0.01cm）．２．在 Rt△ABC 中，∠C= 90o， ∠B = 28o32' ，a= 12.36cm,求∠A（精确到1’），c，b（精确到0.01cm）．做一做小结课件9张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.3 解直角三角形及其应用（3）永州市第九中学 唐建顺５．如图，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长2.0m，下底长3.6m，一腰长1.9m．求等腰梯形的高（精确到0.1m），以及一腰与下底所成的底角（精确到1'）．要求等腰梯形的高，须从上底顶点D向下底AB作垂线，构造直角三角形△DAE，而AE的长等于例 题再利用勾股定理就可求高DE，利用求∠A即可.在等腰梯形ABCD中，从顶点D作下底AB的垂线，垂足为E．由于上底DC＝2m，下底AB＝3.6m，在直角三角形中ADE中，由于AE是∠A的邻边，AD是斜边，因此从而，答：等腰梯形的高约等于1.7m，一腰与下底所成的底角约等于65o6'．从而因此AE＝（２）中的山坡比较陡．观察（1）（2）从点P上坡走到点N时，升高的高度h与水平前进的距离l 的比叫作坡度，用i表示，坡度越大，山坡越陡.如何用数量来反映哪个山坡陡呢？即∠MPN叫作坡角．（坡度通常写成1：ｍ 的形式）６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？已知可查表求出角度∠MPN．在Rt△PMN中，PN＝240ｍ， ∠MPN角度已求，利用可求MN的长 ，即上升的高度．例 题在 Rt△PMN 中，∠M= 90o， PN=240m,由于NM是∠P的对边，PN是斜边，答：小刚上升了约为116.5m．这座山坡的坡角约等于29o3'．用α表示坡角的大小，由于因此练 习如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽（即等腰梯形的上底长）为10.2m，路基的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为6.2m．求路基的底宽（精确到0.1m）和坡角（精确到1'）．在等腰梯形ABCD中，从顶点D作下底AB的垂线，垂足为E．由于上底DC＝10.2m，高DE＝6.2m，∴AE≈9.9（m）,山坡的坡度坡度越大，山坡越陡,并且坡度i等于坡角的正切． 坡度通常写成1：ｍ 的形式，小结课件20张PPT。锐角三角函数执教者: 蒋崇特中考要求1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关系，锐角三角函数等2）基本计算：包括对角的计算，对边的计算，应用某种关系计算等。3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。sin A== cos A=tan A== （一）锐角三角函数的概念0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 （二）同角三角函数之间的关系（三）互余两角三角函数之间的关系三角函数（四）特殊的三角函数值（五）三角函数值的变化规律1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）2）当角度在0---90之间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 填空：比较大小（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，∠C=90?，那么∠A， ∠ B， ∠ C，a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：1）a2+b2=c22）∠A+∠B=90?3）1）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（七）应用问题中的几个重要概念以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示：2）方向角坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ =tan A
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即 I = .3）坡度（坡比）,坡角的概念☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念
关系1）在Rt?ABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值解法1 设AB=c由三角函数的定义得：sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
∴ a ﹕ b = 2/3解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3抓住三角函数的定义是解题的关键☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2 在?ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下列结论正确的是（ ）sinA>sinB
sin2A+sin2B=1
sinA=sinB
若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来的2倍
A)(1)(3) B)(2)C)(2)(4) D)(1)(2)(3)解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5,
sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知
（1）（3）都不对，故选 B用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，是解决选择题的常用方法☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值C☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系5.下列式中不正确的是（ ）C点评：应用互余的三角函数关系进行正弦与余弦的互化，并了解同一个锐角的三角函数关系，能运用其关系进行简单的转化运算，才能解决这类问题。☆ 考点范例解析1.锐角三角函数
的概念关系2.求特殊角
的三角函数值3.互余或同角
的三角函数关系6 在?ABC中∠C=90°化简下面的式子点评：利用互余或同角的三角函数关系的相关结论是解决这类问题的关键☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形点评：由于三角函数是边之间的比，因此利用我们熟知的按比例设为参数比的形式来求解，是处理直角三角形问题的常用方法。☆ 考点范例解析1.锐角三角函数
的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的
三角函数关系4.解直角三角形5.解直角三角形的应用9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB的高度是（ ）米点评：此题属于解直角三角形的基本应用题—测量问题，要明确仰角和俯角，然后数形结合直接从图形出发解直角三角形.11）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN= 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）米B此题属于光学问题的基本应用，首先要对有关生活常识有所了解，从图形入手，数形结合，将已知信息转化为解直角三角形的数学模型去解。12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将?ABM沿着AM翻折后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心，求a/b的值。点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直角三角形知识或勾股定理建立等式求解。课件9张PPT。正切和余切1．正切和余切的概念 问题1: 如图,当锐角A固定时,两直角边的比值是否也
固定?如图， 在中，把 的对边
与邻边的比叫做 的正切，
记作 .
即
并把 的邻边与对边的比叫做 的余切，记作， .
即
2. 正切、余切的关系 问题2：观察 与 的表达式，你能得出什
么结论吗？ 3. 锐角三角函数由上图， ， ， ， ，把锐
角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做的 锐角三角
函数.
4. 特殊角的三角函数值
你能观察出互为余角的正切值与余切值的关系吗?典型例题例1 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
课堂练习1．求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
2．填空：
（1）
（2）若 ，则锐角
（3）若 ，则锐角
课堂小结作业：本节课了解了正切、余切的概念及 与 的关系，知道特殊角的正余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.P106习题4.1A组1、3课件10张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册湖南教育出版社4.1 正弦与余弦（1）由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90o，∠A= 65o，∠A所对的边BC=2000m，求 斜边AC=？上述问题就是：知道直角三角形的一个为65o的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值有什么规律？ 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65o的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65o ，量出65o角的对边长度和斜边长度，计算：的值，结论：在有一个锐角为65o的直角三角形中， 65o角的对边与
斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．做一做已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D =∠D ' =65o，∠E =∠E'= 90o求证：∵ ∠E =∠E ' = 90o，∠D =∠D ' =65o，∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．∴因此:在有一个锐角为65o的所有直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值是一个常数．于是E F · D' F '＝ E F · D' F '．∴现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65o，解得 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作:类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．即:（１）求∠A的正弦 ；
（２）求∠B的正弦 ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得于是 AC=4．因此例 题1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， BC=5，AB=13．（１）求 的值；
（２）求 的值．2．小刚说：对于任意锐角α，都有你认为他说得对吗？为什么？0 ＜ ＜1练 习在直角三角形中，小结说一说3、在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角A的正弦值（ )
A、扩大2倍 B、不变
C、缩小2倍 D、无法确定。这节课我们主要学习了哪些知识？有何体会和收获？有哪些你认为最重要？作业1、习题4.1 A组第一题，
2、某人沿着坡脚为65o的一斜坡从坡底向上走，当他沿坡面走了45米时，人上升了多少米？（精确到1m）。课件13张PPT。你能设计一种方案，不过醴陵渌江河，测出河流某段的宽度吗？解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组4.3 解直角三角形应用(1)解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组1、方位角
指南的或指北的方向线与目标方向线所成的小于90度的角，如图，
目标方向线OA：北偏东600；
OB：南偏东_____度，也称为东南方向。
OD：______________．认识生活中的角解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组 45南偏西200 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组2.仰角和俯角：一艘游船在离开码头A后，以和河岸成20度角的方向行驶了500米到达B处，求B与河岸的 距离（精确到1米）。探 究 一解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?α=30°β=60°120ABCD探 究 二解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组探 究 三1．弄清俯角、仰角等概念的意义，才能恰当地把实际问题转化为数学问题． 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：⑵ 找⑶ 解⑴ 建解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组转化思想、建模思想、方程思想
数形结合思想 请你有说一说：你有什么收获？如图（1），为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点16米的C处（AC⊥AB），测得∠ACB=52°,则A、B之间的距离应为（ ）
A.16sin520 B. 16cos520 C. 16tan52° DABCC解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组16米520?C
2.如图（2），某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面,控制点B的俯角α=300，求飞机A到控制点B的距离为 。 解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组3001200米？2400米 永乐桥摩天轮是天津市的标志性建筑之一。某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度。如图（3），他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为450，再往摩天轮的方向前进50米至D处，测得最高点A的仰角为600，求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB。
（ =1.732，结果保留整数） 600450ACBD解直角三角形及其应用孙家湾中学数学组约为118米为了搞好防洪工程建设，需要测量醴陵渌江河某段的宽度，如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一个标记B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向行进了150米到达点C处，这时测得标记B在北偏西30°的方向。
（1）求河的宽度？（保留根号）
（2）除上述测量方案外，请你在图2中再设计一种测量河的宽度的方案。孙家湾中学数学组拓 展：任何人都可以成为自己想成为的那种人,任何人都可以实现自己的愿望,只要你愿意!
——佚名孙家湾中学数学组孙家湾中学数学组课件16张PPT。锐角三角函数复习如图:在 中， , 分别是
的对边，则下列式子正确的是（ ）A． B．
C． D．热身运动D1.锐角三角函数的定义 如图所示：在 中， ∠A的余弦 :∠A的正弦：我们把 A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数ABCbca===cababc1.判断对错:√√××注意：sinA、cosA、tanA是一个比值（数值），
无单位。小试身手如图所示:(5)如图，sinA= （ ） 注意：sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。×1.判断对错:小试身手2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
10倍，sinA的值（ ）
A.扩大10倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定注意：sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 练一练C解：原式聪明的你还能记得特殊角的三角函数值吗？ 步骤：
一“代”二“算”填出下表：特殊角的三角函数值牛刀小试70°90°例题：如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD; (2)若sinC= ,BC=12,求AD的长.（1）证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中
∵tanB= , cos∠DAC=
又tanB=cos∠DAC
∴ =
∴AC=BD.互动乐园：典例分析（2）解：在Rt△ADC中,由sinC= ,
可设AD=12k,则AC=13k,
由勾股定理,得CD= = 5k,
又由(1)知BD=AC=13k,
∴13k+5k=12,
解得k= ,
∴AD=8.变式题：△ABC中,∠C=90°,点D在BC所在直线上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC= ,则DC的长为____________. 学以致用9或(1)(2)c D巩固练习巩固练习4、如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使D点落在BC边的点F处．已知AB=8，BC=10，则 的值为 ( )
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D． BA
我学会了……我有哪些收获？
小结反思 启迪升华我最大的收获……课后作业 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上面探测点A,B相距3米，探测线与地面夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈ 1.73） 解：如图所示，过点C作CD⊥AB,垂足为点D.因为探测线与地面的夹角分别是30°和60°所以∠ CAD= 30° ,∠CBD= 60°所以生命所在点C在深度约为2.6米处。课后作业 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上面探测点A,B相距3米，探测线与地面夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈ 1.73）
