中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB，
连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
变式练习>>>
1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，
求①，②，③，④的最小值.
例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.
变式练习>>>
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.
例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．
变式练习>>>
3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 ；PD+4PC的最小值为 ．
例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
变式练习>>>
4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
图1 图2
例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
变式练习>>>
5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆B的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值.
2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为________.
3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
5. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？
6. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．
（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB，
连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，
连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，
连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．
变式练习>>>
1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，
求①，②，③，④的最小值.
[答案]：①=，②=2，③=，④=.
例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.
[答案]：5.
变式练习>>>
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.
[答案]：10.
例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．
【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：
连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，
∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，
∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，
∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．
变式练习>>>
3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；PD+4PC的最小值为 10 ．
【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．
∵PB2＝4，BE BC＝4，∴PB2＝BE BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，
∴PD+PC的最小值为5．
②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．
∵PB2＝4，BE BD＝×4＝4，∴BP2＝BE BD，
∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，
∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，
∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．
例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
变式练习>>>
4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
图1 图2
【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．
例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，∴EF为对角线，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），
∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，
连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，
∴=，∵=，∴=，
∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，
∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
∵PE=，∴5（p+2）2=，
∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．
变式练习>>>
5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，
∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．
（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，
∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴＝，解得m＝2．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′ OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′ OB，
∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小
（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆B的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值.
[答案]：.
2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为________.
[答案]：.
3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.
[答案]：.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
5. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？
[答案]
6. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）．
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝2，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝+1．
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝，AD＝＝，
∴BD+AD＝+．
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM CA，
∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值＝＝．
7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：
（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．
【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；
∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．
∵PA2＝9，AE AD＝×6＝9，∴PA2＝AE AD，
∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PC+PD＝PC+PE，
∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，
∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．
（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．
∵MA2＝225，AE AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE AE，
∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，
∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，
∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，
∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．
