《多边形的内角和》提升训练
一、选择题
1.（2019·铜仁改编）如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是（ ）
A.360°
B.540°
C.630°
D.720°
2.如图所示，一个含60角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则的度数为（ ）
A.120°
B.180°
C.240°
D.300°
二、填空题
3.（2019·株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且，则_______.
4.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍.
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
5.（2018·聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________.
参考答案
1.C 2.C 3.66
4.解：（1）这个多边形的边数是12.（2）漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形.
5.180°或360°或540°
1 / 3《6.4 多边形的内角和与外角和》衔接中考
三年模拟全练
1.（2019广东深圳宝安期末，7，★★☆）如图，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，则所得的多边形的内角和度数不可能是（ ）
A.720°
B.540°
C.360°
D.180°
2.（2020广东佛山华英学校期中，13，★★☆）图是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的每个内角都是108°，则正多边形③的边数是__________.
3.（2020甘肃张掖甘州中学期中，22，★☆☆）已知一个多边形的内角和是其外角和的2倍，这个多边形是几边形？
五年中考全练
4.（2020山东济宁中考，4，★☆☆）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
5.（2020河北中考，18，★★☆）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=_________.
6.（2020陕西中考，12，★★☆）如图，在正五边形 ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_________.
7.（2019山东枣庄中考，16，★★☆）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图①所示）然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，则∠BAC=_________.
8.（2016河北中考，22，★★☆）已知n边形的内角和=（n-2）·180°.
（1）甲同学说，能取360°，而乙同学说，也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
核心素养全练
9.如图所示.
（1）以△ABC的各个顶点为圆心，1cm为半径画三个等圆，则圆与△ABC的公共部分（图①中阴影部分）的面积为_________；
（2）以四边形ABCD的各个顶点为圆心，1cm为半径画四个等圆，则圆与四边形ABCD的公共部分（图②中阴影部分）的面积为_________；
（3）猜想：以n边形的各个顶点为圆心，1cm为半径画n个等圆，则圆与n边形的公共部分的面积为_________.
10.（2020河北秦皇岛期末）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=_________.
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=_________；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=_________；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是_________.
参考答案
1.答案：A
解析：∵一条直线把长方形分割成的多边形中，边数最多的是五边形，∴所得多边形的最大内角和为（5-2）×180°=540°，结合各选项知，选A.
2.答案：10
解析：由题意得，正多边形③的每个内角的度数都是360°-108°-108°=144°，
∴正多边形③的每个外角的度数为180°-144°=36°，
∴正多边形③的边数为360°÷36°=10.
故答案为10.
3.答案：见解析
解析：设这个多边形的边数为n，
由题意得（n-2）·180°=2×360°，
解得n=6.
答：这个多边形是六边形.
4.答案：C
解析：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于（n-2）·180°，可得方程（n-2）·180°=1080°，解得n=8.故选C.
5.答案：12
解析：正六边形的每一个内角的度数为，根据“正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍”可得正n边形每一个外角的度数为30°，依据多边形外角和为360°可得.
6.答案：144°
解析：在正五边形ABCDE中，∵∠C=108°，BC=CD，
∴，
∴∠BDM=180°-∠CDB=180°-36°=144°.
7.答案：36°
解析：由已知得，，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=.
8.答案：见解析
解析：（1）甲对，乙不对.
当θ=360°时，（n-2）·180=360，解得n=4.
当θ=630°时，（n-2）·180=630，解得n=.
∵n为整数，∴θ能取360°，不能取630°.
（2）依题意，得（n-2）·180+360=（n+x-2）·180，解得x=2.
9.答案：（1）cm （2）cm （3）（n-2）cm
解析：（1）由平移和旋转的性质可得，阴影部分的面积等于以A为圆心，1cm为半径的圆面积的一半，即cm .
（2）因为四边形内角和为360°，所以阴影部分的面积等于以A为圆心，1cm为半径的圆的面积，即cm .
（3）所求面积为.
10.答案：360°（1）540°（2）720°（3）n·180°.
解析：过E作EF∥AB（如下图）.
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EF∥AB，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.
∵EF∥AB，
∴∠BAE+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵CD∥EF，
∴∠2+∠ECD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠BAE+∠1+∠2+∠ECD=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.
（1）过E、F分别作AB的平行线，如图所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°.
（2）过E、F、G分别作AB的平行线，如图所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°.
（3）由此可得规律：剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是n·180°.
1 / 6《6.4 多边形的内角和与外角和》知识过关练
知识点一 多边形的内角和定理
1.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A.180°
B.540°
C.1900°
D.1080°
2.（2020独家原创试题）如图，在五边形 ABCDE中，AB∥DE，∠B+∠D=200°，则∠C的度数是（ ）
A.180°
B.170°
C.160°
D.150°
3.（2020北京顺义二模）如图，四边形ABCD中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则+的度数是（ ）
A.360°
B.540°
C.720°
D.900°
4.（2020江苏无锡宜兴期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个外角，得到该多边形的内角和是1380°，则这个多边形的边数是_________.
知识点二 正多边形的内角
5.（2020浙江杭州下城期末）正十二边形的一个内角的度数为（ ）
A.30°
B.150°
C.360°
D.1800°
6.（2020浙江温州龙湾一模）如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点F，连接EF，则∠1的度数为__________.
7.（2020浙江湖州长兴模拟）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1与∠2的度数和为__________.
知识点三 多边形的外角和
8.已知一个正多边形的每个外角都是45°.
（1）试求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的内角和.
9.如图所示，小明从点A出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米后，又左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，问：
（1）整个行走路线构成什么图形？
（2）小明一共走了多少米？
参考答案
1.答案：C
解析：因为n边形的内角和为（n-2）·180°，
所以多边形内角和一定能被180整除.故选C.
2.答案：C
解析：∵AB∥DE，∴∠A+∠E=180°，
∵∠B+∠D=200°，且五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠C=540°-（∠A+∠B+∠D+∠E）=160°.
故选C.
3.答案：B
解析：如图，设直线与CD交于点E.
四边形ABCE的内角和为（4-2）×180°=360°，
三角形ADE的内角和为180°，
∴=360°+180°=540°.故选B.
4.答案：9
解析：设多边形的边数为n，多加的外角的度数为，则（n-2）·180°=1380°-，
∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴该同学多加的外角的度数为120°，
∴这个多边形的边数是7+2=9.
故答案为9.
5.答案：B
解析：正十二边形的内角和是（12-2）×180°=1800°，
∴每个内角的度数是=150°.
故选B.
6.答案：54°
解析：∵五边形 ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=∠ABC=，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=，
∴∠EAF=108°-36°=72°，
∵以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点F，
∴AE=AF，
∴.
7.答案180°
解析：如图，
正八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，∴每个内角的度数为1080÷8=135°，∴∠1+∠3=135°，∠2+∠4=135°，又∵三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，∴∠3+∠4=180-90°=90°，
∴∠1+∠2=135°×2-90°=180°.故答案为180°.
8.答案：见解析
解析：（1）∵多边形的外角和为360°，每个外角都是45°，∴这个多边形的边数为360°÷45°=8.
（2）这个多边形的内角和为（8-2）×180°=6×180°=1080°.
9.答案：见解析
解析：（1）由已知得，整个行走路线构成一个正多边形，且这个正多边形的每个外角为40°，
∵，∴整个行走路线构成一个正九边形.
（2）小明一共走了9×8=72（米）.
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