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2021-2022学年下学期第六单元 平面向量及其应用单元测试卷（巅峰版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第六单元 平面向量及其应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量 D．若和都是单位向量，则
2．（2021·重庆复旦中学高二）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（ ）A． B． C． D．
3．（2021·吉林·延边二中高一阶段练习）已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津市宝坻区第四中学高一阶段练习）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（2021·四川省广安代市中学校高一阶段练习（理））在中，，则的形状为（ ）．A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．（2021·江苏吴江·高一期中）在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
7．已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南平顶山·高二期中）在中，，E为的中点，过点E的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，，复数，当取到最小值时，实数m的值为（ ）A． B． C．2 D．
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·江苏吴江·高一期中）甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）
A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为 C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为
10．（2021·江苏张家港·高一期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心 B．
C． D．
11．（2021·江苏张家港·高一期中）在内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，边上的高等于，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）给出下列命题，其中正确的选项有
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则为等腰三角形
C．若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2021·江苏南京·高一期末）在中，若，且，则的值为______.
14．（2021·上海徐汇·高一期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为，则的值为________．
15．（2021·上海·高一期末）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________．
16．（2021·全国·高三专题练习）如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·天津市宝坻区第四中学高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求的值； （2）如果，求c的值； （3）如果，求的值.
18．（2021·上海徐汇·高一期末）在中，设 ，记 的面积为．
（1）求证： ；
（2）设 求证：．
19．（2021·上海徐汇·高一期末）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
20．（2021·全国·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
21．（2021·上海·复旦附中高一期中）在非直角三角形中，角的对边分别为.
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
22．（2021·湖北省团风中学模拟预测）在中，三个内角、、所对的边分别为、、，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）若，求；
（2）若且，求的面积．
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
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2021-2022学年下学期第六单元 平面向量及其应用单元测试卷（巅峰版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第六单元 平面向量及其应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
【答案】C
【解析】
根据向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；
故选：C.
2．（2021·重庆复旦中学高二开学考试）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
先用表示，再结合可得正确的表示形式.
【详解】
因为，
故，
故选：C.
3．（2021·吉林·延边二中高一阶段练习）已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.
【详解】
设向量的夹角为，则，
由，，得：，
向量的夹角为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.
4．（2021·天津市宝坻区第四中学高一阶段练习）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
由正弦定理求出的值，可得或，再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可判断三角形的形状.
【详解】
∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
当时，∵，
∴，是直角三角形.
当时，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．（2021·四川省广安代市中学校高一阶段练习（理））在中，，则的形状为（ ）．A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
【详解】
，即
由余弦定理可得
可得：
故三角形是直角三角形
故选
点睛：本题主要考查的知识点是三角形的形状判断，余弦定理的应用．直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得，通过边长之间的关系即可判断出三角形的形状．
6．（2021·江苏吴江·高一期中）在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可求得，再结合面积和，即可求得边，
再由余弦定理求得.
【详解】
由，由正弦定理得，又，
得，得，得，又，得，
则，则，由余弦定理，
得，得或.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，根据边角关系正确选用正弦定理和余弦定理是解题的关键.
7．（2021·江苏张家港·高一期中）已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量平行的条件，求出.
【详解】
∵，，，且，
∴，
当时， ，此时，，满足；
当时， ，要使，只需，因为，所以无解.
综上：.
故选：C.
【点睛】
若，则有：
（1）
（2）
8．（2021·河南平顶山·高二期中）在中，，E为的中点，过点E的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，，复数，当取到最小值时，实数m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出取值最小值时的m.
【详解】
在中，因为，
所以.
又，，所以.
因为E为的中点，所以.
因为M、E、N三点共线，所以，即，
复数，所以，
令，
故当，最小.
故选：D
【点睛】
（1）三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x、y使得：且x+y=1.
（2）复数中模的计算：
①，则；②；③.
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·江苏吴江·高一期中）甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）
A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.
【详解】
如图示，
在中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在中，设，
由余弦定理得：，即
解得：
则乙楼的高度分别为.
故选：AC
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．
10．（2021·江苏张家港·高一期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确；
推导得到，由此可证得B正确；
由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误；
利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确.
【详解】
对于A，，，即，
同理可证得：，，是的垂心，A正确；
对于B，延长交于两点，
由A可知：，，，，
，又，，B正确；
对于C，由B可得：，
同理可得：，，
，
，C错误；
对于D，由B可得：，
同理可得：，，
，
由C可得：，
又，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.
11．（2021·江苏张家港·高一期中）在内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，边上的高等于，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据条件可以求得a，c间的关系，结合正弦定理，余弦定理边角互化得到其余角或边的关系.
【详解】
∵，
∴，
由余弦定理知：，
解得，，选项D正确；
由正弦定理有：，则，选项B正确；
易知，，则，
，选项C错误.
，选项A正确；
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理边角转化，求得边角关系.
12．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）给出下列命题，其中正确的选项有
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则为等腰三角形
C．若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：非零向量、满足，
令：，，
则，，
由于，
如图所示：
所以四边形为菱形，且为等边三角形；
所以，，
则与的夹角为，故正确．
对于：由于，
所以，
所以为等腰三角形，故正确．
对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
即，
当时，的最小值为，故正确；
对于，，，
由于为锐角，
所以且与不同向，
即
则且，故不正确．
故选：．
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2021·江苏南京·高一期末）在中，若，且，则的值为______.
【答案】；
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角公式化简可得，最后根据正弦定理计算可得；
【详解】
解：因为
，又
由正弦定理得即
故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换以及正弦定理的应用，属于中档题.
14．（2021·上海徐汇·高一期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合已知条件设直角三角形两直角边分别为、，由勾股定理求出的值，进而可得的值，由两角差的正切公式即可求解.
【详解】
设直角三角形的较小的直角边为，则较长的直角边为，
因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为，
每一个直角三角形中由勾股定理可得：，
即，解得或（舍），
直角三角形较小的锐角为，
可得，
所以，
故答案为：.
15．（2021·上海·高一期末）如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
由题意得， ，则，分析得到面积的最小值;
又在中，，所以周长，
令，则，所以，分析得到周长的最小值.
【详解】
由题意得：,
所以，又因为且,则，
所以，
则，
当即当时，能取得最小值，最小值为4;
又因为，所以
所以在中，
周长
，令，则，
所以，
当时，上式取得最小值，最小值为.
故答案为：4，
【点睛】
在应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
16．（2021·全国·高三专题练习）如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题设得，由求，又，即可得，进而求与的夹角的余弦值.
【详解】
由图知： ，，
∴，
又，且，，
∴，
∴，而，即，
又，
∴.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到，进而求向量夹角余弦值.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·天津市宝坻区第四中学高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求的值；
（2）如果，求c的值；
（3）如果，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出的值；
（2）由余弦定理可得c；
（3）由正弦定理求出，进而求出，根据大边对大角确定的符号，再根据三角形内角和为，以及两角和与差的正弦公式得出答案.
【详解】
解：（1）在中，，且，
则，又，故.
（2），，，
故.
（3），
∴，解得，
又，则，
.
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的应用，属于基础题.
18．（2021·上海徐汇·高一期末）在中，设 ，记 的面积为．
（1）求证： ；
（2）设 求证：．
【答案】（1）具体见解析；（2）具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式结合平面向量定义即可证明；
（2）根据（1），将坐标代入，根据平面向量的坐标运算即可证明.
【详解】
（1）
.
（2）由（1），
.
19．（2021·上海徐汇·高一期末）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
【答案】（1）能，；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）在中，，由正弦定理可求出，过点作于点，
在中，求出，计算即为金茂大厦的高；
（2）需要测量，，在中，，利用正弦定理求，在中，由计算，在中，由余弦定理可求.
【详解】
（1）能测得金茂大厦的高，
如图：已知，，所以，
在中，，由正弦定理可得：，
即，所以，
过点作于点，
在中，，
所以金茂大厦的高为；
（2）第一步测量角，设，，
第二步：求的长，在中，，，
由正弦定理可得：，即，
所以，
第三步，求，在中，，
在中，，且已知和的长，由余弦定理即可求得长.
故可得金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离.
20．（2021·全国·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米.
【解析】
【分析】
（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；
（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．
【详解】
解：（1）设的边长为千米，由得，，
中，，，
为等边三角形，，
故，
即的边长为；
（2）设的边长为千米，
所以，，
中，，，，
由正弦定理得，，
故，
当时取得最小值，即的边长最小值．
【点睛】
方法点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
21．（2021·上海·复旦附中高一期中）在非直角三角形中，角的对边分别为.
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
【答案】（1）等边三角形；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理即可求解；
（2）（i）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得，再由三角恒等变换即可求证；（ii）根据三角恒等变换代数式可化为，比较可知存在.
【详解】
（1）由余弦定理得，将代入得到，
所以为等边三角形.
（2）（i）由及正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
有，由两角和 差的余弦公式可得
，
整理得，
故.
（ii）由及半角正切公式可得
，
展开整理得，
即，
即，
即，与原三角式比较可知存在且.
22．（2021·湖北省团风中学模拟预测）在中，三个内角、、所对的边分别为、、，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）若，求；
（2）若且，求的面积．
【答案】条件选择见解析：（1）；（2）.
【解析】
【分析】
选择①，利用两角和的正弦公式、正弦定理可得，结合角的取值范围可求得角的值；
选择②，利用正弦定理、两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选择③，利用余弦定理以及三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（1）解法一：利用正弦定理、两角差的正弦公式结合同角三角函数的平方关系可得出关于的二次方程，结合角的取值范围可求得的值；
解法二：利用余弦定理结合已知条件可得出关于、的齐次等式，求出、的等量关系，结合余弦定理可求得的值；
（2）利用正弦定理结合余弦定理可得出关于的二次方程，解出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积．
【详解】
解：若选①，由展开得，
又由正弦定理可知，
在中，，
所以，
又，则，所以，
所以，可得.
又，所以，所以，所以；
若选②，因为，
又由正弦定理可知：，
所以，
又，则，所以，又，所以；
若选③，，
由余弦定理得，所以，
又且，所以，又，所以；
（1）解法一：若，由正弦定理得，
又，所以，
可得，所以，
又，所以，所以，
又，所以，所以；
解法二：若，又，
由余弦定理可知，
即，整理得，
解得或，
若，，则，与矛盾；
若，则，由余弦定理可得；
（2）由，及正弦定理知．
由，所以，
又由余弦定理得，即，整理可得，
，可得，所以.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
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