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2021-2022学年下学期第六单元 平面向量及其应用单元测试卷（基础版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第六单元 平面向量及其应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2022·全国·高三专题练习）设为所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，结合得出.
【详解】
由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示
①；②
因为，代入①中可得③
由②③可得，
故选：B
2．（2021·重庆市育才中学高一期中）在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，为边中点，得到，然后由求解.
【详解】
如图所示：
因为，为边中点，
所以，
所以,
=，
所以，
所以，
故选：C
3．（2021·重庆市育才中学高一期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，在中，由余弦定理求得，设，结合正弦定理求得，得到，进而求得的值，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
设，
在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，
设，由正弦定理知，解得，所以，
所以，
所以.
故选：D.
4．（2021·北京·101中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值，求解即可.
【详解】
∵且，
∴.
5．（2021·北京·101中学高一期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】
由余弦定理可得，即，
，解得或.
故选：C.
6．（2021·北京·101中学高一期中）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x的值，从而求出sinθ，cosθ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．
【详解】
直角三角形中较短的直角边为x，
则：x2+（x+2）2＝102，
解得：x＝6，
∴sinθ，cosθ，
∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．
7．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量减法和数乘运算求得正确结论.
【详解】
.
故选：B
8．（2021·北京·清华附中高一期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）．A．2 B． C．4 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，向量，满足，，，
又由，
所以.
故选：A.
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
10．（2021·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心 D．若，则I是内心
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】
根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
11．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，,若,则
B．单位向量，，则
C．若且，则
D．若点为的重心，则
【答案】AC
【解析】
利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D.
【详解】
对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；
对于选项B：，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点为的重心，取的中点，则
，故选项D正确，
故选：AC
12．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据正弦定理与余弦定理，可判断AC选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B选项；根据余弦定理,结合b2＝ac，求得a=c，即可判断D选项.
【详解】
A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得，故A正确；
B选项，在中，若，则或，所以或，故B错误；
C选项，若，则，而，所以角为钝角，即为钝角三角形，故C正确；
D选项，若B＝60°，b2＝ac，所以，而b2＝ac，
所以，所以，即，则，
又B＝60°，所以△ABC是等边三角形.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2021·重庆市育才中学高一期中）化简：________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量加法的运算法则即可化简求解.
【详解】
解:
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量加法的运算法则，向量的加法满足交换律.属于基础题
14．（2021·北京·清华附中高一期中）已知，，．若，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
可求出，然后根据即可得出，然后解出的值即可．
【详解】
解：，，且，
，解得．
故答案为：．
15．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）如图，在离地面高800的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
16．（2021·广东·石门高级中学高一阶段练习）在中，角所对的边为，若，且边，，则边_____.
【答案】或
【解析】
根据余弦定理代值求解即可得出答案.
【详解】
依题在中有， ，，
根据余弦定理有,
所以，即，
所以或.
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查余弦定理相关的简单计算，属基础题.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）已知平面向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与共线，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
（1）求出，即可由坐标计算出模；
（2）求出，再由共线列出式子即可计算.
【详解】
(1)，
所以；
(2)，
因为与共线，所以，解得m＝4.
18．（2021·重庆市育才中学高一期中）在中，，再从条件①：边上的高为；条件②：；这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积.
【答案】（1）选择条件见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
若选①（1）作出图形，求出，利用正弦定理即可求出结果；
（2）结合两角和的正弦公式求出的值，进而结合三角形的面积公式即可求出结果.
若选②（1）结合同角的基本关系即可求出结果；
（2）结合两角和的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的长度，进而结合三角形的面积公式即可求出结果.
【详解】
若选①
（1）过作的延长线于，又因为边上的高为，即，
因为，所有，所以，
由正弦定理得：，则；
（2）因为，所以，则，
故，
所以;
若选②,
（1）因为，所以，且，则，
则，故；
（2）由（1）知，，
结合正弦定理得，则，
故，
所以.
19．（2021·全国·高三专题练习）已知，，分别为的内角，，的对边，.
（1）若，，求；
（2）已知，求c边的最小值.
【答案】（1），（2）的最小值为
【解析】
【分析】
（1）由已知结合正弦定理可求出，然后结合正弦定理可求，进而可求出，
（2）由余弦定理先表示出，然后结合二次函数性质可求得答案
【详解】
（1）因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以，
由正弦定理得，，得，
由，得，
所以为锐角，所以，
（2）由余弦定理得
，
所以当时，的最小值为
20．（2021·北京·101中学高一期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足．
求证：A、B、C三点共线；
已知、，，的最小值为5，求实数m的值．
【答案】(1)见解析(2) m的值为-3或
【解析】
【详解】
试题分析: （1）因为,且,化简可得,即∥，又与有公共点A，则命题成立; （2）根据和=-求出,的坐标,代入解析式f（x）,化简可得关于sin x的二次函数,讨论对称轴与区间[0，1]的中点为的关系,根据单调性分别得出最小值,列出等式求得m的值.
试题解析:
（1）因为，
所以∥，又与有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
（2）因为=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），
所以= + =（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），
故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，
从而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2
=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，
关于sin x的二次函数的对称轴为sin x=，
因为x[0，]，所以sin x[0，1]，又区间[0，1]的中点为．
①当≤，即m≤0时，当sinx=1时，f（x）min=m2+2m+2，
由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；
②当>，即m>0时，当sinx=0时，f（x）min=2+m2，
由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=．
综上所述：m的值为-3或．
点睛:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
21．（2021·北京·101中学高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)b的大小；
(2)角A的大小和的面积.
条件①：；条件②：
【答案】(1)5；(2)；.
【解析】
【分析】
(1)选条件①，由余弦定理即可得解，选条件②，由同角公式求出正弦值，再用正弦定理得解；
(2)选条件①，由(1)结合余弦定理及三角形面积定理得解，选条件②，由(1)结合和差角的正余弦公式及三角形面积定理得解.
【详解】
选条件①：，
(1)中，由余弦定理得，，
解得或(舍去)，即；
(2)由(1)及余弦定理得，而，则，
.
选条件②：，
(1)中，，，则，，
由正弦定理得；
(2)由(1)知，而，则，
.
22．（2021·北京·清华附中高一期中）已知，，是同一平面内的三个向量，，．
（1）若与的方向相反，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，，由向量模的计算公式可求得的值，从而可得的坐标；
（2）根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，由数量积运算可求得的值，结合的范围，即可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意，，若与的方向相反
则，，即，
又，则，解可得，
则．
（2）由，可得，
若，则，
解得，
又由，则．
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年下学期第六单元 平面向量及其应用单元测试卷（基础版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第六单元 平面向量及其应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2022·全国·高三专题练习）设为所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·重庆市育才中学高一期中）在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．（2021·重庆市育才中学高一期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（ ）
A． B． C．14 D．
4．（2021·北京·101中学高一期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京·101中学高一期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
6．（2021·北京·101中学高一期中）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·北京·清华附中高一期中）已知平面向量，满足，，，则（ ）．A．2 B． C．4 D．12
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2021·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心 D．若，则I是内心
11．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，,若,则
B．单位向量，，则
C．若且，则
D．若点为的重心，则
12．（2021·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是等边三角形
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2021·重庆市育才中学高一期中）化简：________.
14．（2021·北京·清华附中高一期中）已知，，．若，则实数的值为______．
15．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）如图，在离地面高800的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________.
16．（2021·广东·石门高级中学高一阶段练习）在中，角所对的边为，若，且边，，则边_____.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）已知平面向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与共线，求实数m的值.
18．（2021·重庆市育才中学高一期中）在中，，再从条件①：边上的高为；条件②：；这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积.
19．（2021·全国·高三专题练习）已知，，分别为的内角，，的对边，.
（1）若，，求；
（2）已知，求c边的最小值.
20．（2021·北京·101中学高一期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足．
求证：A、B、C三点共线；
已知、，，的最小值为5，求实数m的值．
21．（2021·北京·101中学高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)b的大小；
(2)角A的大小和的面积.
条件①：；条件②：
22．（2021·北京·清华附中高一期中）已知，，是同一平面内的三个向量，，．
（1）若与的方向相反，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
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