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2021-2022学年下学期第七单元 复数单元测试卷（巅峰版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第七单元 复数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，，故，计算得到答案.
【详解】
根据题意，，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
2．（2021·全国·高一课时练习）已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（ ）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
【答案】A
【解析】
【详解】
因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
3．（2020·湖南·湘潭一中高三阶段练习（理））设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设,
可得：，
则，
，
可得：，
可得：，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，，
故答案为：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．（2021·湖北·武汉市第四十九中学高一阶段练习）复数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.
【详解】
由题意，复数，可得，
，
所以.
故选：C.
6．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ）
A．2 B． C． D．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案.
【详解】
由题意得：，
所以，
又是纯虚数，所以，
解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
7．（2021·全国·高一课时练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简复数z，再求得其共轭复数，令其虚部为，解得，代入求解即可.
【详解】
由题意得，
∴，又复数的共轭复数的虚部为，
∴，解得.
∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题.
8．（2021·湖南·雅礼中学高二阶段练习）欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名 最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式有，判断即可确定对应点所在象限.
【详解】
由题意知：，而，
∴，故对应点在第二象限.
故选：B
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【详解】
根据题意，中，
时，；
时，
；时，；
时，，
.
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
故选：BC.
【点睛】
此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.
10．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则（ ）
A． B．的虚部是
C．若，则， D．
【答案】CD
【解析】
取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，则，A选项错误；
对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；
对于C选项，若，则，，C选项正确；
对于D选项，，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.
11．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三阶段练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数是实数的充要条件是
B．复数是纯虚数的充要条件是
C．若，互为共轭复数，则是实数
D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；
对于：若复数是纯虚数则且，故错误；
对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；
对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；
故选：AC
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
12．（2021·河北武强中学高三阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共扼复数为，则（ ）
A． B．的实部是2
C．的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先根据计算出，再计算出其共扼复数为即可.
【详解】
由
所以
对于A答案，故A对.
对于B答案的实部是2，故B对.
对于C答案的虚部为，故C错误.
对于答案复平面内对应的点为在第一象限，故D对.
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期末）若是虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】
由题意，复数满足，则,
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14．（2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一阶段练习）已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为，若，则________.
【答案】
【解析】
有图可得出，由可得计算即可.
【详解】
由题图可知，，由，得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
15．（2021·全国·高一课时练习）如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.
【答案】
【解析】
将复数变形为，根据题意可得出向量对应的复数为，然后利用复数的乘法法则可得出结果.
【详解】
.
所求复数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复数三角形式的乘法计算，涉及复数旋转的几何意义，考查计算能力，属于基础题.
16．（2019·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
.
【点睛】
本题考查了复数模的运算，属于简单题.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·广东·广州大学附属中学南沙实验学校高二阶段练习）已知：复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用复数的运算法则，求出，再根据复数的模的定义求出；
（2）根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，即可求出实数，的值.
【详解】
（1），
（2）由得：
，即
所以，解之得
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，复数的模的定义，共轭复数的概念，复数相等的充要条件，考查了学生的运算能力，属于基础题.
18．（2020·全国·高一课时练习）已知，求及.
【答案】z=2+i,
【解析】
【详解】
试题分析：解：根据题意，由于，那么可知z=2+i，且有．
考点：复数的运算
点评：解决的关键是根据复数的除法运算来求解，属于基础题．
19．（2020·全国·高一课时练习）已知复数和，若，试求的取值范围.
【答案】.
【解析】
【详解】
试题分析：当时，复数的实部和虚部分别相等，求得 ，根据 ，求函数的值域.
试题解析：∵，∴，
∴，消去得：，
∴，
∵，∴当时，.
当时，.所以的取值范围为：.
20．（2021·全国·高二课时练习）已知
【答案】
【解析】
【分析】
把z1、z2代入关系式，化简即可
【详解】
，
【点睛】
复数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
.
21．（2021·河北省尚义县第一中学高二期中）设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
【答案】（1）；（2）略
【解析】
【详解】
分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，
．
22．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（理））已知复数
（1）当为何值时，为纯虚数？
（2）当为何值时，对应的点在上？
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据复数的概念求解；
（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程后可求解．
【详解】
（1）由已知，
为纯虚数，则，解得．
（2）由（1）对应点的坐标为，则，解得．
【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数的几何意义，属于基础题．
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年下学期第七单元 复数单元测试卷（巅峰版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第七单元 复数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（ ）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
3．（2020·湖南·湘潭一中高三阶段练习（理））设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
5．（2021·湖北·武汉市第四十九中学高一阶段练习）复数，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ）
A．2 B． C． D．－2
7．（2021·全国·高一课时练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021·湖南·雅礼中学高二阶段练习）欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名 最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，则（ ）
A． B．的虚部是
C．若，则， D．
11．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三阶段练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数是实数的充要条件是
B．复数是纯虚数的充要条件是
C．若，互为共轭复数，则是实数
D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称
12．（2021·河北武强中学高三阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共扼复数为，则（ ）
A． B．的实部是2
C．的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期末）若是虚数单位，复数满足，则___________.
14．（2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一阶段练习）已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为，若，则________.
15．（2021·全国·高一课时练习）如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.
16．（2019·浙江·高考真题）复数（为虚数单位），则________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·广东·广州大学附属中学南沙实验学校高二阶段练习）已知：复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
18．（2020·全国·高一课时练习）已知，求及.
19．（2020·全国·高一课时练习）已知复数和，若，试求的取值范围.
20．（2021·全国·高二课时练习）已知
21．（2021·河北省尚义县第一中学高二期中）设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
22．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（理））已知复数
（1）当为何值时，为纯虚数？
（2）当为何值时，对应的点在上？
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