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2021-2022学年下学期第七单元 复数单元测试卷（基础版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第七单元 复数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2022·全国·高三专题练习（文））复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的除法化简，再求共轭复数.
【详解】
因为，所以复数的共轭复数是.
故选：B.
2．（2021·河北·深州长江中学高一期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．
【详解】
由题意，对应点为，在第四象限．
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先运用复数运算法则化简，再求模即可.
【详解】
，所以
故选：D.
4．（2021·浙江·高三专题练习）已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ）
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的加法法则即可求出.
【详解】
z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
故选：B.
5．（2021·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）计算的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则可得结果.
【详解】
＝＝＝.
故选：A
6．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题可得，再由复数乘法计算即可.
【详解】
复数z对应的点的坐标是，，
.
故选：D.
7．（2020·陕西·西安市庆华中学高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的四则运算求，然后求模即可.
【详解】
依题意，，故.
故选：C
【点睛】
本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题.
8．（2021·山东·枣庄八中高一期中）复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为，
所以在复平面内，对应的点的坐标是.
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中）已知复数，则（ ）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算化简复数，再利用复数的有关概念及其运算即可判断出结论.
【详解】
，
所以，故选项A错误；
，故选项B正确；
z的共轭复数为，故选项C错误；
z的虚部为，故选项D正确.
故选：BD.
10．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）已知复数则（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.
【详解】
利用复数的相关概念可判断A正确；
对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；
对于C选项，，则，故C错；
对于D选项，，则，故D正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.
11．（2021·全国·高一单元测试）设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则实数a的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是（为的共轭复数）的充要条件
D．若，则实数a的值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误
【详解】
∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确
选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误
选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确
选项D：时，有，即，故正确
故选：ACD
【点睛】
本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围
12．（2021·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；
对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期末）若是虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】
由题意，复数满足，则,
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中）已知复数，则__________．
【答案】
【解析】
根据共轭复数的概念，先得到，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
15．（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
【答案】2.
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.
【详解】
，
令得.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．（2021·江苏省海头高级中学高二阶段练习）设复数满足，则的最大值是_______.
【答案】6
【解析】
【详解】
分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求的最大值.
详解：设复数，则，
所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，
所以的最大值是.故答案为6
点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)表示以点(a,b)为圆心r为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·福建省连江华侨中学高一期中）实数分别取什么值时，复数对应的点在：
（1）第三象限；
（2）直线上.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得即可求解；
（2）找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解.
【详解】
因为是实数，所以，也是实数.
（1）由题意可得 即，
解得：
即当时，点在第三象限.
（2）对应点，
由题意可得，
整理可得：，
解得：，
即当时，点Z在直线上.
18．（2021·江苏泰州·高一期末）已知复数，设
（1）求复数；
（2）若复数z满足，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据计算出，把带入即可计算出.
（2）设复数，满足，即可计算出.从而得出.
【详解】
解：（1），
.
（2）设复数(其中).
由，得，
所以，解得.
由，得，
所以，解得.
所以，.
19．（2021·全国·高一专题练习）已知复数z满足的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设在复平面上对应的点分别为，求△的面积.
【答案】（1）或.；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）设、，结合条件求即可得z；（2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得对应坐标，进而求它们构成的△的面积；
【详解】
（1）设，则，即有.
由的虚部为2，有.
∴或
即或.
（2）当时，.
∴点，知：且到的距离为1；
∴.
当时，.
∴点，知：且到的距离为1；
∴.
∴△的面积为1.
【点睛】
本题考查了根据复数相等，应用复数的四则运算求复数，并利用复数的坐标求三角形面积，属于简单题；
20．（2021·全国·高一课时练习）已知复数（，i为虚数单位），且为实数.
（1）求复数z；
（2）设复数（x，）满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
(1)设复数，化简, 由复数的相等求解.
(2) 设（x，）,由得，可得 的关系，从而解出答案.
【详解】
解：（1）由（），
得，
为实数，
，.
（2）设（x，），，
，
，即，
，
即复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
的最小值为.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
21．（2021·河北省尚义县第一中学高二期中）设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
【答案】（1）；（2）略
【解析】
【详解】
分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，
．
22．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（理））已知复数
（1）当为何值时，为纯虚数？
（2）当为何值时，对应的点在上？
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据复数的概念求解；
（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程后可求解．
【详解】
（1）由已知，
为纯虚数，则，解得．
（2）由（1）对应点的坐标为，则，解得．
【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数的几何意义，属于基础题．
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年下学期第七单元 复数单元测试卷（基础版）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修二2019第七单元 复数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2022·全国·高三专题练习（文））复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·深州长江中学高一期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022·全国·高三专题练习）设复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2021·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）计算的值是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·陕西·西安市庆华中学高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2021·山东·枣庄八中高一期中）复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中）已知复数，则（ ）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
10．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）已知复数则（ ）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
11．（2021·全国·高一单元测试）设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则实数a的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是（为的共轭复数）的充要条件
D．若，则实数a的值为2
12．（2021·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期末）若是虚数单位，复数满足，则___________.
14．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中）已知复数，则__________．
15．（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
16．（2021·江苏省海头高级中学高二阶段练习）设复数满足，则的最大值是_______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2021·福建省连江华侨中学高一期中）实数分别取什么值时，复数对应的点在：
（1）第三象限；
（2）直线上.
18．（2021·江苏泰州·高一期末）已知复数，设
（1）求复数；
（2）若复数z满足，，求.
19．（2021·全国·高一专题练习）已知复数z满足的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设在复平面上对应的点分别为，求△的面积.
20．（2021·全国·高一课时练习）已知复数（，i为虚数单位），且为实数.
（1）求复数z；
（2）设复数（x，）满足，求的最小值.
21．（2021·河北省尚义县第一中学高二期中）设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
22．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（理））已知复数
（1）当为何值时，为纯虚数？
（2）当为何值时，对应的点在上？
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