分式的运算、分式方程导学案

八年级下数学科2013年上期导学案
16.2.1课 题：分式的乘除（1）
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
（1）学习目标:
1、通过类比分数的乘、除运算，探索出分式的乘、除运算法则，并理解其算理；
2、理解并掌握分式的乘除运算法则，并会运用法则进行分式的乘除运算；
3、渗透类比、化归的数学思想.
教学重点:分式的乘除法法则的探索及其应用;
教学难点:1、灵活运用分式乘除的法则进行运算
2、把实际问题转化为数学问题并解决之
教学方法:自学、探究
一、前置自学（自学课本 10-12页内容，并完成下列问题）
1、一个长方形容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，则此长方形容器的高为 ，若容器中的水占容积的时，水的高度为 ，若若容器中的水占容积的时，水的高度为 ；
2、大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，则大拖拉机的工作效率是 ；小拖拉机的工作效率是 ；大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
3、探究分式的乘除法法则
观察：
由以上算式，请写出分数乘除法的法则：
乘法法则： ；
除法法则： ；
如果把上面算式中的3、5、15、2、分别用字母a、b、c、d来代替，请写出相应的式子：
；
用文字归纳分式的乘除法法则：
乘法法则 ；
除法法则 ，
二、合作探究
、计算：
（1） （2）
例2、计算：
（1） （2）
小练习： 计算：
（1） （2）
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（）米的正方形，两块试验田里的小麦都收获了500千克。
（1）“丰收1号”小麦的种植面积为 ；“丰收2号”小麦的种植面积为 ；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？
(3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
三、拓展提升
1.
5）拓展题：
四、当堂反馈
1、= ，=
2、计算：（1） （2）
（3） （4）
五、教学反思：
八年级下数学科2013年上期导学案
课 题16.2分式的乘除（2）
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
教学重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
教学难点难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 关键是点拨运算符号问题、变号法则. 教学方法：自学、探究
一、前置自学（自学课本 13页内容，并完成下列问题）
1、计算（1） (2)

例4.计算
[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
二、合作探究
（补充）例.计算
(1)
= (先把除法统一成乘法运算)
= （判断运算的符号）
= （约分到最简分式）
(2)
= (先把除法统一成乘法运算)
= (分子、分母中的多项式分解因式)
=
=1
三、拓展提升
1. (1) （2）
（3） （4）
2、已知：，，求代数式的值．
四、当堂反馈
1、计算：（1）； （2）．
（3) (4)
(5) (6)
五、教学反思：
八年级下数学科2013年上期导学案
课 题16.2分式的乘除（3）
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算。
教学重点：熟练地进行分式乘方的运算.
教学难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
教学方法：自学、探究
一、前置自学（自学课本 13页内容，并完成下列问题）
根据乘方的意义和分式乘法的法则，
计算 ===，===，……
填空：（1）==（ ） (2) ==（ ）
（3）==（ ）
推导可得：
===，即=. （n为正整数）
归纳：分式乘方的法则：
例5.计算 [分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.
二、合作探究
1、判断下列各式是否成立，并改正.（1）= （2）=
（3）= （4）=
2、计算
(1) （2）
（3） （4）
（5) (6)
三、拓展提升
1. 1) (2)
(3) (4)
四、当堂反馈
1、计算：（1）； （2）．
（3) (4)
4．计算：．
(5) (6)
五．教学反思：
八年级下数学科2013年上期导学案
课题：16．2．2分式的加减(1)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
教学目标：
（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
（3）通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。
教学重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
教学难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
教学方法：引导启发、类比、讨论交流、讲练结合
教学突破：进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法则计算，转化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；（3）相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.
异分母的分式加减法的一般步骤：（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；（3）分子去括号，合并同类项；（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.
导学过程：
一、预习复习
1、分数加减法的计算法则是怎样的？
2、P15问题3与问题4预习，领会算式的来的意义。
3、P15[思考]
让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，请学生自己说出分式的加减法法则________________________________________。
4、请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
二、共同探索 建立知识体系
1、学生类比分数的加减法法则归纳叙述分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示是：±=。
异分母分式相加减，先通分，变为分母的分式，再加减。
用式子表示为：±=。
（注意：异分母的分式加减法的运算, 关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母）
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
分式通分时，要注意几点：
（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；
（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；
（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；
（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。
这样取出的因式的积，就是最简公分母。异分母的分式加减法的一般步骤：
（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；
（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；
（3）分子去括号，合并同类项；
（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式
2、例题讲解
（P16）例6.计算：（1），（2）
[例后总结] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
学生尝试分析计算，教师板书解题过程。
（补充）例.计算
（1）
[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
(2)
[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
三、当堂反馈
1、课本16页练习第1、2题。（学生独立思考完成，有问题可以进行交流）
3、课本22页习题16.2第4、5题。
四、教学小结
五、教学反思
八年级下数学科2013年上期导学案
课题：16．2．2分式的加减(2)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
教学目标：
1、明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
2、通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。
教学重点：熟练地进行分式的混合运算。
教学难点：熟练地进行分式的混合运算。
教学方法：引导启发、类比、讲练结合
教学突破：教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
导学过程：
一、预习完成
1、分数混合运算的顺序_____________________。
2、大胆猜一猜：分数的混合运算与分式的混合运算的顺序___(是、否)相同。
3、提醒：分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从___到____的方向，先____，再____，然后____.有括号要按先____，再_____，最后_____的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行_____，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
检查后，教师强调说明：分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点：
（1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便。
（2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时备用，可避免运算烦琐。
（3）注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”。
（4）结果要化为最简分式。
二、例题探解
1、（P17）例8.计算
小组讨论：（1）、运算顺序；（2）、结果进行到什么地步。
【这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.】
2、（补充）计算
（1）
（2）
（3）(－＋)·(a3－b3)；
（4）(－)÷。
学生独立完成，教师巡视，个别指点。
3、已知x＋=3，求下列各式的值：
（1）x2＋ ； （2）x3＋；（3）。
【提醒：这种变形练习，是数学中最常用的，今后在进行一元二次方程和二次函数学习时，常用来变形练习，希望把变形原理理解清楚。】
分析：观察已知条件和所求式，可将所求的式进行分解因式，将已知条件整体代入，第（3）题是先求它的倒数值，可以将x2＋=7直接代入，求得它的值。此外对于已知条件x＋=3，可以变形为x2－3x＋1=0，也可以变形为=1，在后两种表达形式下，要能熟练地将它转化为x＋=3。
解：（1）x2＋=(x＋)2－2=32－2=7；
（2）x3＋=(x＋)( x2－1＋)
=3×(7－1)=18；
（3）∵ = x2＋＋1=7＋1=8，∴ =
三、作业练习
1、课本18页练习第2题；
2、计算
（1) ； （2）；
（3） ；
3、创新能力运用（选做）
（1）已知：x＋y＋z=3y=2z，求的值。
（2）已知：－=3，求的值。
4、课本23页习题16.2第6题。
四、教学小结
五、教学反思
八年级下数学科2013年上期导学案
课题：16.2.3整数指数幂(1)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：
1、经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力。
2、了解负整数指数的概念，了解幂运算的法则可以推广到整指数幂。
3、会进行简单的整数范围内的幂运算。
学习重点：负整数指数幂的概念
学习难点：认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程。
学习过程
一．创设情境，导入新课
你还记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比，看一看谁做得又快又好：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6） （7）
2、你还记得是怎么得到的吗？
二．自主学习与合作交流
1.根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？

2.课本第25页练习第1题。请完成下列填空：
即
即
即
归纳：
在整数指数幂范围内是否适用。
一般地,当n是正整数时, ,这就是说, 是的倒数
三．巩固与拓展
1.请你计算下列各式
①____________ ②
③④ __
2.新知识应用，计算：
① ②
③④
四．当堂检测
1.计算：
（1） （2） （3） （4）
2计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式
五．小结与反思
你这节学会了什么？
六．课外延伸
1.计算
(1) (x3y-2)2 =__________ （2）x2y-2 ·(x-2y)3 =_____ (3)(3x2y-2) 2 ÷(x-2y)3=_______________
(4) (5)
2.将这三个数从小到大的顺序排列为：__________________________
3.计算

4.化简求值，试求的值，其中a=2
八年级下数学科2013年上期导学案
课题：16.2.3整数指数幂(2)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标
1．知识与技能：理解负指数幂的性质，正确熟练地运用负指数幂公式进行计算，会用科学记数法表示绝对值较小的数．
2．过程与方法：通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题的能力和计算能力．
学习重点难点：
重点：理解和应用负整数指数幂的性质，用科学记数法表示绝对值较小的数．
难点：负整数指数幂公式中字母的取值范围，用科学记数法表示绝对值较小的数时，a×10-n 形式中n的取值与小数中零的关系．
学习过程
一．创设情境，导入新课
问题 ：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？
做一做：（1）用科学记数法表示745 000 = 7.45×105，2 930 000= 2.93×106．
（2）绝对值大于10的数用a×10n表示时， 1 ≤│a│< 10 ，n为 整数 ．
（3）零指数与负整数指数幂公式是 a0 =1（a≠0），a-n = 1/an（a≠0）．
二．自主学习与合作交流
1.我们知道1纳米= 米，由 =10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9米．
而35×10-9=（3.5×10）×10-3 = 3.5×10-
试一试 把下列各数用科学记数法表示
（1）100 000 （2）0.000 01=
（3）-112 000= （4）-0.000 001 12=
2. 议一议
（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a×10n形式时，1≤│a│<10，n的取值与整数位数有什么关系？
（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点呢？
明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a×10-n中，n是正整数，a的取值一样为1≤│a│<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数．
3. 用科学计数法表示下列各数：
(1)0．000 04， (2) -0. 034, (3) 0.000 000 45,

(4) 0. 003 009 (5)-0.00001096 (6)0.000329
三．巩固与拓展
1.用科学记数法填空
（1）1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒= 秒；
（2）1毫克= 千克； （3）1微米= 米；
（4）1纳米= 微米； （5）1平方厘米= 平方米；
（6）1毫升= 立方米．
2.用科学记数法表示下列结果：
（1）地球上陆地的面积为149 000 000km2，用科学记数法表示为______；
（2）一本200页的书的厚度约为1.8cm，用科学记数法表示每一页纸的厚度约等于
．四．当堂检测
.计算
(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3 (3)

(4) (5) (6)

五．小结与反思
（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a×10n的形式，其中1≤│a│<10，n为正整数．
（2）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，将它们表示成a×10-n形式，其中1≤│a│<10．
六．课外延伸
1.先化简，再求值：其中a=5,b=-3
2.先化简，再求值：其中
3.先化简，再求值：
4.先将分式进行化简，然后请你给x选择一个合适的值，再求原式的值。
八年级下数学科2013年上期导学案
课题16.3分式方程(1)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
学习过程：
一、提出问题，创设情境
1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？
2，如何解方程：
二、自主学习与合作交流
1自学课本P26-28
2、下列关于的方程① ② ③ ④中是分式方程的是 （填序号）。（ ）
3、解分式方程的步骤是什么？
4解方程： =。

总结：解分式方程的一般步骤是：
1.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程；
2.解这个 方程；
3.检验：把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。
三、巩固与拓展
5，若=2是关于的分式方程的解，则的值为
6，下列分式方程中，一定有解的是（ ）
A． B． C． D．
7，解方程 （1） （2）
四、当堂检测：
8·分式方程的解是（ ）A．=－2 B．=2C．=1 D．=－1
9·分式方程出现增根，那么增根一定是
10·解方程： ⑴； ⑵在公式中，，表示

五、小结与反思：
六·课外延伸
11·解方程⑴ ⑵
12·若关于的方程有增根，则 的值为?
13·已知关于的方程无解，求的取值范围．
14·已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围
八年级下数学科2013年上期导学案
课题16.3分式方程(2)
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
3．培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。
学习重点：利用分式方程组解决实际问题.
学习过程：
一、提出问题，创设情境
1预习新知：P29-30完成 P31 第1，2题。
2、解决应用问题的一般步骤是什么？
.（1） ；（2） （3）解所列方程；
（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。
二、自主学习与合作交流
1·校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
怎样设未知数，根据哪个关系？题中有哪些相等关系？怎样列方程？
2. 下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A． 解：
B． 解：
C． 解：
D． 解：
三、巩固与拓展
3·厂原计划a天完成b件产品，现在要提前x天完成，则现在每天要比原来多生产产品_____
4·接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
四、当堂检测：
5·场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，·方程正确的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
6·帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？
7·器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
五、小结与反思：
六·课外延伸
8 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
9·乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？
八年级下数学科2013年上期导学案
课题 《分式》复习课
主备教师：张晓梅 研讨教师：周之平 章华玲 审核教师： 使用教师： 使用时间：
学习目标：
《分式》 知识回顾
　　知识网络
　考点例析
考点1：分式的概念和性质
1．在分式中，如果________则分式无意义；如果________且________不为零时，则分式的值为零．
2、分式的基本性质用字母表示为__ .
3、分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何________个，分式的值不变．
【典题解析】
例1　（1）已知分式的值是零，那么x的值是（　　）
　　A．-1　　　B．0　　　C．1　　　D．±１
当x________时，分式没有意义．
例2　下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
　A． B．
　　C． D．
　　考点2：分式的化简与计算
　　【知识要点】
　　1．分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的公因式．
　　2．最简公分母的确定：一是取各分母所有系数的 ；二是取各分母所有字母因式的 的积．
　　3．分式的加减法法则表示为：______；________．
　　4．分式的乘除法法则表示为：_______；________．
　　【典题解析】
　　例3　计算的结果是________．
　　例4　计算．
　　例5　化简．
　　考点3：分式条件求值
　　　例6　先化简下列代数式，再求值：，其中（结果精确到0.01）．
　
　例7　先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的 x的值代入求值．
　　
．
　　考点4：可化为一元一次方程的分式方程
　　【知识要点】解分式方程的一般步骤是：
①在方程的两边都乘_______，约去分母，化成_______；②解这个_______；③把解得的根代入_______，看结果是不是零，使________为零的根是原方的________,必须舍去．
　　　　例8　解方程．
　　
　　例9　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．
五、小结与反思：