新人教版九年级数学第22章一元二次方程教案导学案(全章)
文档属性
| 名称 | 新人教版九年级数学第22章一元二次方程教案导学案(全章) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 277.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-03-02 22:01:16 | ||
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文档简介
第22章 一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 8课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
《一元二次方程》小结与复习 2课时
第1课时 一元二次方程（1）
学 习
目 标
1、使学生了解一元二次方程的意义。
2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点
建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；
整理得 x2+10x-900=0 ①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；
整理得 5 x2+10x-2.2=0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 （x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；
整理得 x2-x-56=0 ③
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
二、自主交流 探究新知
【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式”“无理式”）；
（2）方程整理后含有 一 个未知数；
（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）x2＝１；
（３）5x2-2x-=x2-2x+； （４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；
（５）x2－２x＝x2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０
主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．
判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
三、自主应用 巩固新知
【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
3x2-3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。
【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+ x2-4=1
移项合并同类项，得：
2x2+2x-4=0
其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。
【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【练习】Р27 1 2
进一步巩固一元二次方程的基本概念
四、自主总结 拓展新知
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第2课时 一元二次方程（2）
学 习
目 标
1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
学习重点
一元二次方程解的探索。
学习难点
一元二次方程近似解的探索。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
①x2+4x+=0 ②x2+3x－2= x2
③x2－2xy－3=0 ④a x2+bx+c=0
复习巩固一元二次方程的相关概念。
二、自主交流 探究新知
【探究】猜测方程的解是什么？
【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．
【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。
⑴x2-16=0 ⑵ (x+3)(x-2)=0
⑶ (x-2)2=49 ⑷x2-2x+1=25
【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．
解：⑴∵x2-16=0 ⑵∵(x+3)(x-2)=0
∴x2=16 ∴x+3=0或x-2=0
∴x=±4 ∴x=-3或x=2
⑶∵(x-2)2=49 ⑷∵x2-2x+1=25
∴x-2=±7 ∴(x-1)2=25
∴x=9或x=-5 ∴x-1=±5
∴x=6或x=-4
探究一元二次方程根的概念以及作用．
进一步巩固方程的根的含义．
方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根．
三、自主应用 巩固新知
【例1】若x＝2是方程的一个根，你能求出a的值吗？
【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．
解：∵x＝2是方程的一个根
∴，
解之得：
a＝．
【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。
解：∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
∴a+b+c=0
∴2007(a+b+c)=0
【练习】Р28 1 2
方程的根的另一个作用——代入方程使等号成立．
四、自主总结 拓展新知
1、一元二次方程根的概念；
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
3、要会用一些方法求一元二次方程的根．
五、课堂作业 P28 3 4 8 （《课堂内外》对应练习）
【补充练习】
1、方程x（x-1）=2的两根为【 】．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2= -1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2、方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。
5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
教学理念/教学反思
第3课时 解一元二次方程——配方法（1）
学 习
目 标
1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。
2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
学习重点
掌握直接开平方法解一元二次方程。
学习难点
灵活运用直接开平方法解一元二次方程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10×6x2=1500
由此可得：x2=25
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5，x2=-5
可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．
二、自主交流 探究新知
【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=，x2=。
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即，如果方程能化成或的形式，那么可得或．
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．
三、自主应用 巩固新知
【例1】解下列方程：
⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。
解：⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
y2=4 (x-8)2=25
y=±2 x-8=±5
∴y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5
∴x1= 13，x2= -3
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
(2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0
∴原方程无解 2 x-1=0
∴x1= x2=
【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）
解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意可列方程：
（15+x）2=300
15+x=±10
即15+x=10或15+x=-10
∴x1=-15+10≈2.3，x1=-15-10(负根不合题意，舍去)
答：这这块绿地的边长增加了2.3米。
【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）m2；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 m2
解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：
10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2
即1+x=1.2或1+x=-1.2
∴x1=0.2=20%，x2= -2.2(负根不合题意，舍去)
答：每年人均住房面积增长率应为20%
【练习】Р31 1
帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法，同时通过教师规范的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。
强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍。
四、自主总结 拓展新知
1、用直接开平方解一元二次方程。
2、理解“降次”思想。
3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0？
五、课堂作业 P42 1 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第4课时 解一元二次方程——配方法（2）
学 习
目 标
1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填空
（1）x2-8x+_16__=（x-_4_）2；（2）9x2+12x+_4__=（3x+_2_）2；
（3）x2+px+=（x+）2．
【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。
【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？
设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 m2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0。
熟悉完全平方式。
实例引入，发现问题。
二、自主交流 探究新知
【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项得：x2+6x=16
两边都加上9即，使左边配成x2+bx+b2的形式，得：
x2+6x+9=16+9
左边写成平方形式，得：
(x+3)2=25
开平方，得：
x+3=±5 （降次）
即 x+3=5或x+3= -5
解一次方程，得：
x1=2，x2=-8
【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程：
⑴x2-8x+1=0 ⑵x2-4x+1=0 ⑶9x2+6x-3=0
【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。
解：⑴x2-8x+1=0 ⑵x2-4x+1=0 ⑶9x2+6x-3=0
移项得： 移项得： 移项得：
x2-8x= -1 x2-4x= -1 9x2+6x=3
配方得： 配方得： 配方得：
x2-8x+16= -1+16 x2-4x+4= -1+4 9x2+6x+1=3+1
即(x-4)2=15 即(x-2)2=3 即(3x+1)2=4
两边开平方得： 两边开平方得： 两边开平方得：
x-4= x-2= 3x+1=±2
∴x1=4， ∴x1=2 ∴x1=，
x2=4 x2=2- x2= -1
【例2】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【分析】设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程：
（8-x）（6-x）=××8×6
即：x2-14x+24=0
（x-7）2=25
x-7=±5
∴x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【练习】Р34 1 2（1 2）
在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后分析归纳利用配方法解方程时应该遵循的步骤。
应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
五、课堂作业 P42 2 3 （1 2） （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第5课时 解一元二次方程——配方法（3）
学 习
目 标
1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2 ⑵x2+8x+ =(x+ )2
⑶x2-12x+ =(x- )2 ⑷x2-+ =(x- )2
⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹ a2-2ab+ =(a- )2
【问题2】解下列方程：
⑴x2-4x+7=0 ⑵2x2-8x+1=0
复习相关内容，实行知识储备。
复习基本方法，逐步加深难度。
二、自主交流 探究新知
【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
⑴3x2－6x + 4 = 0； ⑵2x2+1=3x ⑶(2x-1)(x+3)=5 ．
【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
教师书写完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时强调符号，这是易错之处。
主体探究、归纳配方法一般过程．
三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程：
⑴x(2x-5)=4x-10 ⑵x2+5x+7=3x+11
【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？
解:设绿地的宽是x米，则长是（x＋10）米，根据题意得:
x（x+10）＝900．
整理得
，
配方得
．
解得
．
由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是米，于是绿地的长是米．
【练习】Р34 2
应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
（6）如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。
五、课堂作业 P42 3 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第6课时 解一元二次方程——公式法（1）
学 习
目 标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
学习重点
求根公式的推导和公式法的应用。
学习难点
一元二次方程求根公式法的推导。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用配方法解方程：
⑴x2+3x+2=0 ⑵2x2-3x+5=0
学生板演，复习旧知
二、自主交流 探究新知
【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax2+bx=-c
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2-4ac≥0时， ≥0
∴x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=（b2-4ac≥0）
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。
配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。
配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。
通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．
三、自主应用 巩固新知
【例】用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0
【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
解：
【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac≥0）中，可求得方程的两个根；
（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【练习】Р37 1
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、自主总结 拓展新知
1、求根公式的推导过程；
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
五、课堂作业 P42 5 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第7课时 解一元二次方程——公式法（2）
学 习
目 标
使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。
学习重点
使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。
学习难点
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0
二、自主交流 探究新知
【探究】根据问题填写下表：
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
9
>0
不相等
3x2-2x+1=0
0
=0
相等
4x2+x+1=0
-15
<0
不存在
【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
【结论】⑴当⊿=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。
⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。
学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法——公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系．
三、自主应用 巩固新知
【例1】不解方程，判定方程根的情况
⑴16x2+8x=-3 ⑵9x2+6x+1=0 ⑶2x2-9x+8=0 ⑷x2-7x-18=0
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解：
【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
解：
【例3】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
四、自主总结 拓展新知
⊿=b2-4ac >0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；
⊿=b2-4ac =0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；
⊿=b2-4ac <0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其应用。
五、课堂作业 P42 4 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第8课时 解一元二次方程—因式分解法
学 习
目 标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
学习重点
用因式分解法一元二次方程。
学习难点
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
【分析】方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10-4.9x)=0
于是得x=0或10-4.9x=0 ②
∴x1=0 x2=
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
二、自主交流 探究新知
【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？
（1）2x2-4x＝0； （2）x2-4＝0．
【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．
在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、自主应用 巩固新知
【例1】解方程：
⑴x2-3x-10=0 ⑵x2-11x+28=0
⑶ (x+3)(x-1)=5 ⑷5x2-2x-=x2-2x+
【说明】用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式。
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0 ⑵3x(x+2)=5(x+2)
⑶(3x+1)2-5=0 ⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2
应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）
学 习
目 标
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
学习重点
一元二次方程的根与系数的关系及运用。
学习难点
定理的发现及运用。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
二、自主交流 探究新知
【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=，x2=， 能得出以下结果：
x1＋x2=，即：两根之和等于
x1?x2=，即：两根之积等于
特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：
x1＋x2== -p x1?x2= q
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋x＋＝0(a≠0)，
则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（x1+x2）x＋x1x2＝0(a≠0)
让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、自主应用 巩固新知
【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4
（3）=4 （4）2=3x
（5）-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，那么
∴ x1=
又x1+2=
∴ k=
【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=
（1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22
∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =
（2）
【练习】Р42 练习
让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。
进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
四、自主总结 拓展新知
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。
1、先化成一般形式，再确定a,b,c.
2、当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.
3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。
五、课堂作业 P43 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第10课时 一元二次方程的根与系数的关系（2）
学 习
目 标
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
学习重点
一元二次方程根与系数关系的应用．
学习难点
某些代数式的变形．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 ? x2 =_______.
【问题2】关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；＝ 。
【问题3】甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。则p= ，q= 。
【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。
通过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养思维的灵活性。
二、自主交流 探究新知
【例1】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
解：（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
【例2】若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
【例3】已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．
解：∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
【例4】已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．
解：（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）
= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．
（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，
解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4．
考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和
等于2等。
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
三、自主演练 巩固新知
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．
2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．
4. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
5. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
四、课堂作业 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第11课时 实际问题与一元二次方程（1）
学 习
目 标
1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问题和利润问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
学习重点
列一元二次方程解决实际问题。
学习难点
找出实际问题中的等量关系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有
人患流感。
⑵根据等量关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了 个人。
⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感。
使学生充分体会传播问题，培养学生对传播问题的解题能力。
二、自主应用 巩固新知
【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【分析】设每个支干长出x个小分支。则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。依题意可列方程：1+x+x2=91
解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：
1+x+x2=91
解这个方程，得：
∴x1=9 x2=-10(负根不合题意，合去)
答：每个支干长出9个小分支。
【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。
【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6-x），则原两位数为10（6-x）+x，新两位数为10x+(6-x)。依题意可列方程：
[10（6-x）+x][ 10x+(6-x)]=1008
解：
{ x1=2 x2=4}
【例3】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
【分析】（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
三、自主总结 拓展新知
1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、对于数字问题应注意数字的位置值。
四、课堂作业 P45 2 3 5 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第12课时 实际问题与一元二次方程（2）
学 习
目 标
1、会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
学习重点
如何解决增长率与降低率问题。
学习难点
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为5000（1+x）元，
12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。
由此就可列方程：5000（1+x）2=7200
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月（或一年）后产量为a（1+x）；
二月（或二年）后产量为a（1+x）2；
n月（或n年）后产量为a（1+x）n；
如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：
M=a(1+x)n
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
二、自主应用 巩固新知
【例1】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了
元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
⑸思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。
【例2】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
【分析】设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
三、自主总结 拓展新知
1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）。
四、课堂作业 Р48 7（《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第13课时 实际问题与一元二次方程（3）
学 习
目 标
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
学习重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
学习难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主交流 探究新知
【问题1】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得
解方程，得：
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段．
使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
二、自主应用 巩固新知
【例1】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：
解：
【例2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
【分析】因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
使学生熟悉问题1中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究．
三、自主总结 拓展新知
本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
四、课堂作业 P48 8 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第14-15课时 《一元二次方程》小结与复习
学 习
目 标
1、一元二次方程的相关概念；
2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；
4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；
5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；
学习重点
运用知识、技能解决问题。
学习难点
解题分析能力的提高．
教 学 互 动 设 计
一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1?x2=。
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== -p ， x1?x2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】
A． B． C． D．
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。
5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 A 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 B 】
A． B． C． D．
7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】
A． x2+2x-4=0 B． x2-4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则-。
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵ ⑶
解：⑴x=；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=。
【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值．
解：∵==
=
又∵x2+2x-8＝0，
∴x1＝-4，x2＝2，
但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式==
【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴⊿=9-4( m-1)≥0，
解之得：.
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1，
∴2 ×(-3)+ ( m-1)+10=0
解之得：m=-3.
【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．
∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．
∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．
（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5．
∴＋＝＝＝＝－47．
②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．
∴＋＝－47或2．
（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．
∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．
∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．
【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：
解这个方程，得，
因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，
符合题目要求的是%
答：平均每次下调的百分率是20%。
（2）小华选择方案一购买更优惠。
理由：方案一所需费用为：（元）
方案二所需费用为：（元）
∵ 14400 <15000，
∴小华选择方案一购买更优惠。
四、经典考题训练
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。
3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 C 】
A．1 B． C．2 D．
4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【 B 】
A、1 B、 C、1或 D、0.5
5、方程的解是．
6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等．
7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．
8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= -6 ．
9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 a≥﹣1 ．
10、用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x2-3x-1=0
解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷
11、先化简，再求值：
，其中是方程的根．
解：原式=
===
∵是方程的根，∴
∴原式==
12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根
∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0
∴k >且k≠2
13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值.
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，
∴====-．
14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．
∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵；∴，
∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,
解得：m1=-3，m2=1．
当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：．
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：
15、阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，
解得y1=6，y2=－2．
由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．
由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．
所以原方程的解为x1=－3，x2=2．
16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，
∴x1=220（不合题意，舍去）；
当x2=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，
∴x=80，
答：该校共购买了80棵树苗．
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 8课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
《一元二次方程》小结与复习 2课时
第1课时 一元二次方程（1）
学 习
目 标
1、使学生了解一元二次方程的意义。
2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点
建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；
整理得 x2+10x-900=0 ①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；
整理得 5 x2+10x-2.2=0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 （x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；
整理得 x2-x-56=0 ③
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
二、自主交流 探究新知
【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式”“无理式”）；
（2）方程整理后含有 一 个未知数；
（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）x2＝１；
（３）5x2-2x-=x2-2x+； （４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；
（５）x2－２x＝x2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０
主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．
判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
三、自主应用 巩固新知
【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
3x2-3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。
【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+ x2-4=1
移项合并同类项，得：
2x2+2x-4=0
其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。
【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【练习】Р27 1 2
进一步巩固一元二次方程的基本概念
四、自主总结 拓展新知
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第2课时 一元二次方程（2）
学 习
目 标
1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
学习重点
一元二次方程解的探索。
学习难点
一元二次方程近似解的探索。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
①x2+4x+=0 ②x2+3x－2= x2
③x2－2xy－3=0 ④a x2+bx+c=0
复习巩固一元二次方程的相关概念。
二、自主交流 探究新知
【探究】猜测方程的解是什么？
【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．
【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。
⑴x2-16=0 ⑵ (x+3)(x-2)=0
⑶ (x-2)2=49 ⑷x2-2x+1=25
【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．
解：⑴∵x2-16=0 ⑵∵(x+3)(x-2)=0
∴x2=16 ∴x+3=0或x-2=0
∴x=±4 ∴x=-3或x=2
⑶∵(x-2)2=49 ⑷∵x2-2x+1=25
∴x-2=±7 ∴(x-1)2=25
∴x=9或x=-5 ∴x-1=±5
∴x=6或x=-4
探究一元二次方程根的概念以及作用．
进一步巩固方程的根的含义．
方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根．
三、自主应用 巩固新知
【例1】若x＝2是方程的一个根，你能求出a的值吗？
【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．
解：∵x＝2是方程的一个根
∴，
解之得：
a＝．
【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。
解：∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
∴a+b+c=0
∴2007(a+b+c)=0
【练习】Р28 1 2
方程的根的另一个作用——代入方程使等号成立．
四、自主总结 拓展新知
1、一元二次方程根的概念；
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
3、要会用一些方法求一元二次方程的根．
五、课堂作业 P28 3 4 8 （《课堂内外》对应练习）
【补充练习】
1、方程x（x-1）=2的两根为【 】．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2= -1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2、方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。
5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
教学理念/教学反思
第3课时 解一元二次方程——配方法（1）
学 习
目 标
1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。
2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
学习重点
掌握直接开平方法解一元二次方程。
学习难点
灵活运用直接开平方法解一元二次方程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10×6x2=1500
由此可得：x2=25
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5，x2=-5
可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．
二、自主交流 探究新知
【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=，x2=。
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即，如果方程能化成或的形式，那么可得或．
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．
三、自主应用 巩固新知
【例1】解下列方程：
⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。
解：⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
y2=4 (x-8)2=25
y=±2 x-8=±5
∴y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5
∴x1= 13，x2= -3
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
(2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0
∴原方程无解 2 x-1=0
∴x1= x2=
【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）
解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意可列方程：
（15+x）2=300
15+x=±10
即15+x=10或15+x=-10
∴x1=-15+10≈2.3，x1=-15-10(负根不合题意，舍去)
答：这这块绿地的边长增加了2.3米。
【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）m2；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 m2
解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：
10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2
即1+x=1.2或1+x=-1.2
∴x1=0.2=20%，x2= -2.2(负根不合题意，舍去)
答：每年人均住房面积增长率应为20%
【练习】Р31 1
帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法，同时通过教师规范的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。
强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍。
四、自主总结 拓展新知
1、用直接开平方解一元二次方程。
2、理解“降次”思想。
3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0？
五、课堂作业 P42 1 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第4课时 解一元二次方程——配方法（2）
学 习
目 标
1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填空
（1）x2-8x+_16__=（x-_4_）2；（2）9x2+12x+_4__=（3x+_2_）2；
（3）x2+px+=（x+）2．
【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。
【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？
设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 m2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0。
熟悉完全平方式。
实例引入，发现问题。
二、自主交流 探究新知
【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项得：x2+6x=16
两边都加上9即，使左边配成x2+bx+b2的形式，得：
x2+6x+9=16+9
左边写成平方形式，得：
(x+3)2=25
开平方，得：
x+3=±5 （降次）
即 x+3=5或x+3= -5
解一次方程，得：
x1=2，x2=-8
【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程：
⑴x2-8x+1=0 ⑵x2-4x+1=0 ⑶9x2+6x-3=0
【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。
解：⑴x2-8x+1=0 ⑵x2-4x+1=0 ⑶9x2+6x-3=0
移项得： 移项得： 移项得：
x2-8x= -1 x2-4x= -1 9x2+6x=3
配方得： 配方得： 配方得：
x2-8x+16= -1+16 x2-4x+4= -1+4 9x2+6x+1=3+1
即(x-4)2=15 即(x-2)2=3 即(3x+1)2=4
两边开平方得： 两边开平方得： 两边开平方得：
x-4= x-2= 3x+1=±2
∴x1=4， ∴x1=2 ∴x1=，
x2=4 x2=2- x2= -1
【例2】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【分析】设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程：
（8-x）（6-x）=××8×6
即：x2-14x+24=0
（x-7）2=25
x-7=±5
∴x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【练习】Р34 1 2（1 2）
在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后分析归纳利用配方法解方程时应该遵循的步骤。
应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
五、课堂作业 P42 2 3 （1 2） （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第5课时 解一元二次方程——配方法（3）
学 习
目 标
1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2 ⑵x2+8x+ =(x+ )2
⑶x2-12x+ =(x- )2 ⑷x2-+ =(x- )2
⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹ a2-2ab+ =(a- )2
【问题2】解下列方程：
⑴x2-4x+7=0 ⑵2x2-8x+1=0
复习相关内容，实行知识储备。
复习基本方法，逐步加深难度。
二、自主交流 探究新知
【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
⑴3x2－6x + 4 = 0； ⑵2x2+1=3x ⑶(2x-1)(x+3)=5 ．
【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
教师书写完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时强调符号，这是易错之处。
主体探究、归纳配方法一般过程．
三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程：
⑴x(2x-5)=4x-10 ⑵x2+5x+7=3x+11
【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？
解:设绿地的宽是x米，则长是（x＋10）米，根据题意得:
x（x+10）＝900．
整理得
，
配方得
．
解得
．
由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是米，于是绿地的长是米．
【练习】Р34 2
应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
（6）如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。
五、课堂作业 P42 3 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第6课时 解一元二次方程——公式法（1）
学 习
目 标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
学习重点
求根公式的推导和公式法的应用。
学习难点
一元二次方程求根公式法的推导。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用配方法解方程：
⑴x2+3x+2=0 ⑵2x2-3x+5=0
学生板演，复习旧知
二、自主交流 探究新知
【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax2+bx=-c
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2-4ac≥0时， ≥0
∴x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=（b2-4ac≥0）
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。
配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。
配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。
通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．
三、自主应用 巩固新知
【例】用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0
【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
解：
【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac≥0）中，可求得方程的两个根；
（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【练习】Р37 1
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、自主总结 拓展新知
1、求根公式的推导过程；
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
五、课堂作业 P42 5 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第7课时 解一元二次方程——公式法（2）
学 习
目 标
使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。
学习重点
使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。
学习难点
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0
二、自主交流 探究新知
【探究】根据问题填写下表：
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
9
>0
不相等
3x2-2x+1=0
0
=0
相等
4x2+x+1=0
-15
<0
不存在
【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
【结论】⑴当⊿=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。
⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。
学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法——公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系．
三、自主应用 巩固新知
【例1】不解方程，判定方程根的情况
⑴16x2+8x=-3 ⑵9x2+6x+1=0 ⑶2x2-9x+8=0 ⑷x2-7x-18=0
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解：
【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
解：
【例3】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
四、自主总结 拓展新知
⊿=b2-4ac >0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；
⊿=b2-4ac =0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；
⊿=b2-4ac <0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其应用。
五、课堂作业 P42 4 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第8课时 解一元二次方程—因式分解法
学 习
目 标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
学习重点
用因式分解法一元二次方程。
学习难点
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
【分析】方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10-4.9x)=0
于是得x=0或10-4.9x=0 ②
∴x1=0 x2=
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
二、自主交流 探究新知
【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？
（1）2x2-4x＝0； （2）x2-4＝0．
【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．
在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、自主应用 巩固新知
【例1】解方程：
⑴x2-3x-10=0 ⑵x2-11x+28=0
⑶ (x+3)(x-1)=5 ⑷5x2-2x-=x2-2x+
【说明】用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式。
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0 ⑵3x(x+2)=5(x+2)
⑶(3x+1)2-5=0 ⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2
应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）
学 习
目 标
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
学习重点
一元二次方程的根与系数的关系及运用。
学习难点
定理的发现及运用。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
二、自主交流 探究新知
【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=，x2=， 能得出以下结果：
x1＋x2=，即：两根之和等于
x1?x2=，即：两根之积等于
特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：
x1＋x2== -p x1?x2= q
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋x＋＝0(a≠0)，
则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（x1+x2）x＋x1x2＝0(a≠0)
让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、自主应用 巩固新知
【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4
（3）=4 （4）2=3x
（5）-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，那么
∴ x1=
又x1+2=
∴ k=
【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=
（1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22
∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =
（2）
【练习】Р42 练习
让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。
进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
四、自主总结 拓展新知
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。
1、先化成一般形式，再确定a,b,c.
2、当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.
3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。
五、课堂作业 P43 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第10课时 一元二次方程的根与系数的关系（2）
学 习
目 标
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
学习重点
一元二次方程根与系数关系的应用．
学习难点
某些代数式的变形．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 ? x2 =_______.
【问题2】关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；＝ 。
【问题3】甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。则p= ，q= 。
【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。
通过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养思维的灵活性。
二、自主交流 探究新知
【例1】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
解：（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
【例2】若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
【例3】已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．
解：∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
【例4】已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．
解：（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）
= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．
（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，
解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4．
考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和
等于2等。
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
三、自主演练 巩固新知
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．
2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．
4. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
5. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
四、课堂作业 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第11课时 实际问题与一元二次方程（1）
学 习
目 标
1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问题和利润问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
学习重点
列一元二次方程解决实际问题。
学习难点
找出实际问题中的等量关系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有
人患流感。
⑵根据等量关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了 个人。
⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感。
使学生充分体会传播问题，培养学生对传播问题的解题能力。
二、自主应用 巩固新知
【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【分析】设每个支干长出x个小分支。则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。依题意可列方程：1+x+x2=91
解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：
1+x+x2=91
解这个方程，得：
∴x1=9 x2=-10(负根不合题意，合去)
答：每个支干长出9个小分支。
【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。
【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6-x），则原两位数为10（6-x）+x，新两位数为10x+(6-x)。依题意可列方程：
[10（6-x）+x][ 10x+(6-x)]=1008
解：
{ x1=2 x2=4}
【例3】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
【分析】（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
三、自主总结 拓展新知
1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、对于数字问题应注意数字的位置值。
四、课堂作业 P45 2 3 5 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第12课时 实际问题与一元二次方程（2）
学 习
目 标
1、会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
学习重点
如何解决增长率与降低率问题。
学习难点
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为5000（1+x）元，
12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。
由此就可列方程：5000（1+x）2=7200
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月（或一年）后产量为a（1+x）；
二月（或二年）后产量为a（1+x）2；
n月（或n年）后产量为a（1+x）n；
如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：
M=a(1+x)n
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
二、自主应用 巩固新知
【例1】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了
元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
⑸思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。
【例2】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
【分析】设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
三、自主总结 拓展新知
1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）。
四、课堂作业 Р48 7（《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第13课时 实际问题与一元二次方程（3）
学 习
目 标
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
学习重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
学习难点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主交流 探究新知
【问题1】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得
解方程，得：
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段．
使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
二、自主应用 巩固新知
【例1】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：
解：
【例2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
【分析】因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
使学生熟悉问题1中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究．
三、自主总结 拓展新知
本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
四、课堂作业 P48 8 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第14-15课时 《一元二次方程》小结与复习
学 习
目 标
1、一元二次方程的相关概念；
2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；
4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；
5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；
学习重点
运用知识、技能解决问题。
学习难点
解题分析能力的提高．
教 学 互 动 设 计
一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1?x2=。
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== -p ， x1?x2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】
A． B． C． D．
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。
5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 A 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 B 】
A． B． C． D．
7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】
A． x2+2x-4=0 B． x2-4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则-。
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵ ⑶
解：⑴x=；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=。
【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值．
解：∵==
=
又∵x2+2x-8＝0，
∴x1＝-4，x2＝2，
但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式==
【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴⊿=9-4( m-1)≥0，
解之得：.
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1，
∴2 ×(-3)+ ( m-1)+10=0
解之得：m=-3.
【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．
∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．
∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．
（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5．
∴＋＝＝＝＝－47．
②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．
∴＋＝－47或2．
（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．
∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．
∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．
【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：
解这个方程，得，
因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，
符合题目要求的是%
答：平均每次下调的百分率是20%。
（2）小华选择方案一购买更优惠。
理由：方案一所需费用为：（元）
方案二所需费用为：（元）
∵ 14400 <15000，
∴小华选择方案一购买更优惠。
四、经典考题训练
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。
3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 C 】
A．1 B． C．2 D．
4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【 B 】
A、1 B、 C、1或 D、0.5
5、方程的解是．
6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等．
7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．
8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= -6 ．
9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 a≥﹣1 ．
10、用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x2-3x-1=0
解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷
11、先化简，再求值：
，其中是方程的根．
解：原式=
===
∵是方程的根，∴
∴原式==
12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根
∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0
∴k >且k≠2
13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值.
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，
∴====-．
14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．
∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵；∴，
∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,
解得：m1=-3，m2=1．
当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：．
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：
15、阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，
解得y1=6，y2=－2．
由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．
由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．
所以原方程的解为x1=－3，x2=2．
16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，
∴x1=220（不合题意，舍去）；
当x2=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，
∴x=80，
答：该校共购买了80棵树苗．
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