《因式分解》全章学案

1.1 多项式的因式分解
一、自主学习 （阅读课本P2-3完成下列填空）
1、若f=gh，那么g、h叫做f的 。
2、什么是因式分解？
3、请写出20以内的质数。
4、12与15的最大公因数为 。
二、合作交流
1、你能用几种不同的方法计算10032－10022，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
2、你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
3、概念分析
整式的积 多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2 =a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2
m(a+b)=am+bm am+bm =m(a+b)
整式乘法
一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
4、因式分解与整式乘法有什么关系？
三、合作探究
1、算一算 (1)1012－992= (2)872+87×13 =
2、下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ).
Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ·4ａｂ　　　　　Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝ｘ2－4
Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ)
3、下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1)＝ｘ2＋4ｘ－5 Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1
Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝(ｘ－5ｙ)2 Ｄ.ａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2(ａ－ｂ) －ｘ
4、下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
Ａ.ａｂ(ａ－ｂ)＝ａ2ｂ－ａｂ2 Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘ2－9?
Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ)
5、找出各组数的最大公因数
（1）2、12、8 最大公因数 （2）15、9、27 最大公因数
（3）36、12、24最大公因数
6、判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
(1)(ｘ＋ｙ)2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2；
(2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)；
(3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1；
(4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2；
(5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1；
(6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).
7、若在因式分解中有 则：m= n=
四、学习小结
你知道因式分解的定义吗?
你会验证因式分解是否正确吗?
你会利用因式分解快速解决某些问题呢?
五、效果评价
1、判断
(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )
(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )
(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解. ( )
2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
(1)ｘ2＋2ｘｙ+y2－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1)；
(2)ｘ2－ｙ2－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3；
(3)ｍ2＋2ｍn＋ｎ2-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ)2－2(ｍ＋ｎ)；
(4)9(ａ2－1)＝9(ａ＋1)(ａ－1)；
(5)ｂｘ2－3ｂ＝ｂ(ｘ2－3)；
(6)9ｘ2－ｙ2＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ).
1.2 提公因式法（第一课时）
一、自主学习
1、什么叫做因式分解？它与整式的乘法有何区别？
2、一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积？你能用几种方法计算？
二、合作交流
阅读课本P5-8页回答下列问题：
1）如何确定一个多项式的公因式？
系数 字母 指数
2）提公因式法分解因式的一般步骤是什么？
3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
三、合作探究
1、写出下列多项式各项的公因式
（1）4kx－8ky; (2) 5y3+20y2 (3) 8a3b2－12ab3c+2ab
2、做课本第8页练习2
（注意：提公因式不要漏掉“+1”；当多项式第一项是负数时，通常先提出“－”号，多项式的各项都要变号）
四、拓展延伸
1、分解因式－4x2y+2xy2－xy的结果是
A.－4（x2+2xy2－xy） B.－xy（－4x+2y－1）
C.－xy（4x－2y+1） D.－xy（4x－2y）
2、利用因式分解进行计算： 121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
3、把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式.
4、利用分解因式计算：
（1）32004－32003 （2）（－2）101+（－2）100.
五、学习小结
1、确定一个多项式的公因式
2、提公因式法的方法？
六、效果评价
1、观察下列各式：
12+(1×2)2+22=9=32
22+(2×3)2+32=49=72
32+(3×4)2+42=169=132
……
你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理.
2、课本P8页，练习3。课本P10页,习题1.2 A 1
1.2 提公因式法的学案（第二课时）
一、自主学习
1、复习：多相式的公因式是
多项式的公因式是
猜想：多项式的公因式是
结论：多项式的公因式的形式可以是： 和
二、合作交流
1、指出下列多项式的公因式，然后进行因式分解
1） 2）
2、小结：多项式分解因式的一般步骤：
三、合作探究
1、在“ ”上填上适当的“+”“--”号，使等式成立。
1）= 4）=
2）= 5）=
3）= 6）=
2、小结： （n为偶数）
（n为奇数）
3、下列多项式可以运用提公因式法因式分解吗？
1） 2） 3）
四、学习小结
1、我学会了
2、我还有疑问
五、效果评价
把下列多项式因式分解。
1) 2)
3) 4)
5)
1.3 公式法（第一课时）
一、自主学习
1、回顾平方差公式（a+b）（a－b）= ，
左边是 ，右边是 ，把这个等式反过来就是
利用平方差公式将多项式a2－b2 变为了两个因式相乘的形式这个过程为
这种方法叫公式法
2、请将多项式x2－16因式分解（提示：16是 的平方）：
x2－16= 。
3、公式讲解：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
二、合作交流
因式分解：（1） (2 ) 25 x2－
解：原式=（ ）22 解：原式=－（ ）2
= =
提示：这两个题目是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式。
（3）9（m +n）2－（m－n）2 （4）2x3－8x
解：原式=［3（m +n）］2－（m－n）2 解：原式=2x（ ）
= =2x（ ）（ ）
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=
=
提示：（3）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，
（4）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，
由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
（5）x4－y4 （6）x2－2
提示：（5）x4可写为（x2）2 （6）2可写为（）2
三、合作探究
基础练习
1.判断正误
（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （2）x2－y2=（x+y）（x－y）;
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.
2.把下列各式分解因式（课本P14练习2）
（1） （2）
（3） （4）
（6）
提高练习
－25a2+16b2 49（2a－3b）2－9（a+b）2.
解方程x2－1=0
四、学习小结
我们已学习过的因式分解方法有 和运用 公式的公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是 ，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
五、效果评价 P15.3 P17习题1.3 A.1
1.3 公式法（第二课时）
一、自主学习
1、考一考=，
=
2、想一想：
二、合作交流：
因式分解的完全平方公式：
= =
观察思考，分析特征：
怎样的多项式是完全平方式？（教师引导学生讨论得出论）
只有是完全平方式，才能利用完全平方公式分解因式；
三、合作探究
1：辨一辨：请判断下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1) （ ）
(2) （ ）
(3) （ ）
(4) 25x4－10x2+1 （ ）
（5）16a2+1. （ ）
（6）x2+xy+y2； （ ）
（7）2--4x+1 （ ）
（8）-2x-1 （ ）
2：学一学：把上题中的完全平方式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）25x4－10x2+1
（5）(x+y)2+8(x+y)+16
3、练一练1：（部分学生板书，师生共同评价）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
4、深入学习，巩固规律
5、练一练3：分解因式：
（1） （3）
四、学习小结
五、效果评价
1、你从下列单项式中找出三项,把它们配成完全平方式;
、 4、 9、-12ab、 4、 9、 6a、20xy、 25、-a
-20xy、a、
2、分解因式：
（1）2ax2-12axy+18ay2
（2）
（3）(x+y)2+8(x+y)+16
3、分解因式
4、分解因式
1.4 十字相乘法（第一课时）
自主学习
引入：
计算：
(1) (x+2)(x+1) = (5) (x+2)(x+3) =
(2) (x+2)(x－1)= (6) (x+2)(x－3) =
(3) (x－2)(x+1)= (7) (x－2)(x+3) =
(4) (x－2)(x－1)= (8) (x－2)(x－3) =
小结：在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) =
即有： =(x + a)(x + b)
新知
x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
x +a
x +b
ax + bx = (a+b)x
定义：
二、合作交流
将下列多项式因式分解。
（1） x2 － 2x －3 （2 ）x2 + 4x + 3
2、拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：
6= ； 12= ； 24= ；
-6= ； -12= ； -24= .
练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) x2 －7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12；
3、归纳：要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x
由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
三、合作探究
用十字相乘法来因式分解
(1) x2 －11x－12； (2) x2 + 13x + 12；
(3) x2 －x－12；
四、学习小结
我学会了
我还有疑问
五、效果检测
将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) x2 －3x + 2； (2) x2－2x－35；
因式分解——十字相乘法（第二课时）
自主学习
复习
将下列多项式因式分解
x2+6x－72=
x2－10xy－56y2 =
十字相乘法的定义：
合作交流
1、把37x2 ( 38x ( 1因式分解. 用画十字交叉线方法表示各种情况
2、把2x2－7x+3因式分解. 用画十字交叉线方法表示各种情况
小结
十字相乘法的步骤：
练习
1）2x2 ( 3x ( 1 用画十字交叉线方法表示各种情况
2）5x2 ( 6x ( 1 用画十字交叉线方法表示各种情况
3）2x2 ( 13x ( 15 用画十字交叉线方法表示各种情况
4) 2x2 ( x ( 15 用画十字交叉线方法表示各种情况
合作探究
用十字相乘法来因式分解
(1)2x2－5x－12；　　　　 　 (2)3x2－5x－2；
(3)6x2－13x+5；　　　　　 (4)7x2－19x－6；
（5）2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2
学习小结
我学会了
我还有疑问
因式分解总复习
一、自主学习：
复习问题：
1、把一个多项式因式分解指的是把一个__________化成__________ 的形式。
2、分解因式的主要方法有提取公因式法和运用公式法。其中
(1)找最大公因式的一般有三看：一看__________，找出系数的__________；二看__________；最后看__________，找出相同字母的__________。
（2）在分解因式时常用的公式
a2－b2 =
a2+2ab+b2 =
a2－2ab+b2 =
3、从练习中我们可以发现
（1）对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式；
（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解；
（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分解。
(4) 对于二次三项式,不能用完全平方公式分解, 考虑应用十字交叉法
二、合作交流：
1、判断下列分解因式的正误
（1）1－y4 = (1－y2) (1+y2)
(2) －x2－x5+ x = －x(x－x4+ 1)
(3) x2+x+1=(x+1)2
(4) 2n2－nm－n=2n(n－m－n)
(5) 4b2c2-(b2+c2-a2)2=（2bc+ b2+c2-a2）（2bc- b2-c2+a2）
2、将下列各式分解因式
(1)x4-9x2= =
(2)-5x3+5x2+10x = =
(3)(a+b)(c-d)-2(a+b)(c+d) = =
(4)(a-b)(a-c)+(b-a)·(b-c) = =
(5)8x2-2y2= =
(6)x5-x3= =
(7)9(x+y)2-(x-y)2= =
(8) (x2+4)2-16x2= =
(9) 2a2(a+b)2-3(a+b)3=
(10)m2(m+n)2-n2(m-n)2= =
三、合作探究：
1、当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式
2、248-1可以被60和70之间的某两个数整除，求这两个数。（提示26=64）
四、效果检测:课本P21 C 1、2
因式分解综合练习
自主学习
1、复习：
我们已经学习 种因式分解，名称是：
2、下列各个多项式用哪种方法因式分解更好
1）
2）
3）
4）
5）
3、将上题中的各个多项式进行因式分解。
1） 2）
3） 4） 5）
合作交流
教材P20 B组 第2题
2）
4）
2、教材P20 B组 第3题
三、效果检测：
1、因式分解：
1）(2x+1)y2+(2x+1)2y=_________．
2）(x+2y)(3x2-4y2)-(x+2y)2(x-2y)=________．
3）=_________．
4）=_________．
5）x2-2xy-35y2 = (x-7y)(?? ? )
6）2x2-7x-15 = (x-5)(?? ? )．
2、填空
1） 20x2+(??? )+14y2=(4x-7y)(5x-2y)
2）kx2+5x-6=(3x-2)(??? )，k=______