北师大版（2019）高中数学 必修第二册 余弦函数的图象与性质再认识 教案

余弦函数的图象与性质再认识
【教学目标】
1．会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学重难点】
会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学过程】
一、基础铺垫
1．余弦函数的图象
把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象叫做余弦曲线．
2．余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增； 当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与 最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
二、新知探究
1．用“五点法”作余弦型函数的图象
【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究]在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解]列表：
x 0 π π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点连线，如图
【教师小结】
（1）“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．
（2）列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
2．求余弦型函数的单调区间
【例2】求函数y＝cos的单调递减区间．
[思路探究]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可．
[解]y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋π，k∈Z.
【教师小结】
（1）求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
（2）具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
3．有关三角函数的最值问题
【例3】已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解]∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得∴
当b<0时，由题意得∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2．
【教师小结】
（1）对于求形如y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
（2）求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
4．正、余弦函数的对称性
[探究问题]
观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示]正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示]正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】已知函数y＝2cos.
（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
[解]（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－(k∈Z)．
令k＝0，x＝－；
令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图象关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
【教师小结】
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
1fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象关于x＝x0对称 fx0＝A或－A.
2fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象关于点x0，0中心对称 fx0＝0.
三、课堂小结
1．余弦曲线和正弦曲线的关系
2．余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3．余弦函数的奇偶性
(1)余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．余弦函数单调性的说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．余弦函数最值的释疑
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1.
(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值.
四、课堂检测
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [∵T＝＝，∴ω＝4．]
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sin＝sin
＝sin＝cos x，∴函数y＝sin是偶函数．]
3．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x 0 π π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 0 1 2 1 0
描点连线，如图．
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