广东省深圳市2013年2月高三年级第一次调研考试

广东省深圳市2013年2月高三年级第一次调研考试
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1．化简的结果是（ ）
A． ?B． ?C． ?D．
2．已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．图1 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的
任何两个数不在下表的同一列．（ ）
则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．我们把各位数字之和为6 的四位数称为“六合数”（如2013 是“六合数”），则“六合
数”中首位为2 的“六合数”共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D． 个
7．函数 的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ，，若存在常数，对任意的，存在唯一的使得
，则称函数在上的几何平均数为．已知，
则函数在上的几何平均数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6小题，每小题5 分，满分30 分．本大题分
为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．若，则
10．容量为的样本的频率分布直方图共有个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是 ______。
11．已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是_____。
12．若执行图2中的框图，输入N ?13，则输出的数等于______。
13．设集合， ，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是____。
（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题
的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____。
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在中，直径与弦垂直，垂足为，，垂足为 ，若，，则 ．
三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数，点、分别是函数图像上的最高点和最低点．
（1）求点、的坐标以及的值；
（2）设点、分别在角、的终边上，求的值．
17．（本小题满分12分）一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：
学生
数学（分）
物理（分）
（1）请在图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选人参加一项活动，以表示选中的同学的物理成绩高于分的人数，求随机变量的分布列及数学期望的值．
18．（本小题满分14分）如图，的直径，点、为上两点，且，
∠，为的中点．沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在上是否存在点，使得//平面？若存在，试指出点的位置，并求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．
（1）判断数列是不是等比数列？
（2）求；
（3）当时，令，为数列的前项和，求．
20．（本小题满分14分） 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．
21．（本小题满分14分）已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；
（3）求证：．
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答题纸
班级 姓名
一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）
9、 10、
11、 12、
13、 14、 15、
三、解答题：（本大题共 6 小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16．（本小题满分12分）
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
20．（本小题满分14分）
21．（本小题满分14分）
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【参考答案】
1.C【解析】
2.C【解析】
3.C【解析】该几何体为平放的半球，
所以
4.D【解析】
5.A【解析】依题意可确定该数列为
6.B【解析】设满足条件的“六合数”为，则于是满足条件的可分以下几种情形：
（1）一个为，两个为，共有种；
（2）一个为，一个为，一个为，共有种；
（3）两个为，一个为，共有种；
（4）一个为，两个为，共有种.
7.B【解析】
画出两函数图象可知均关于直线对称，所以在内所有交点横坐标之和为
8.D【解析】根据已知中关于函数在上的几何平均数为的定义，结合在区间单调递增，则时，存在唯一的与之对应，所以
9. 【解析】所以
10. 【解析】
11. 【解析】
12. 【解析】
13. 【解析】易知两圆半径均为，圆心分别为，所以
，解左边得，;解右边得
所以.因此满足题意的结果应为.
另解：圆心所在直线过定点，画图可知两圆相外切的两个确定的位置，此时圆心所在的直线的斜率分别为，依据变化可得.
14. 【解析】为，所以，解得因此.
15. 【解析】,,
所以
16.【解析】（1）， ，
．
当，即时，，取得最大值；
当，即时，，取得最小值．
因此，点、的坐标分别是、．
．
（2）点、分别在角、的终边上，
，，
，
．
【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．
17.【解析】（1）散点图如右图所示．…………1分
==，
==，
，
，，． ………………………5分
故这些数据的回归方程是：． ………………………6分
（2）随机变量的可能取值为，，． ……………………………………7分
；；． …………10分
故的分布列为：

…………11分
=++=． …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
18.【解析】（法一）：证明：（1）如右图，连接，
，，
又为的中点，，
．
平面，平面，
平面．……………………3分
解：（2）过作于，连．
，平面⊥平面．
⊥平面．
又平面，
，
平面，，
则∠是二面角的平面角． ………………………………5分
，， ．
由⊥平面，平面，得为直角三角形，
，．
==． …………………………………………………………8分
（3）设在上存在点，使得//平面，
平面， 平面平面，
，．
因此，在上存在点，使得//平面，且点为的中点．……10分
连，设与平面所成角为，点到平面的距离为．
===，==，
由=，得=，得． …………12分
在中，，，由余弦定理得=，…13分
=． …………………………………………………14分
（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，．
，
点为的中点，点的坐标为，．
，即．
平面，平面，
平面． …………………………………………………………3分
解：（2），点的坐标，．
设二面角的大小为，为平面的一个法向量．
由 有 即
取，解得，．
=． ……………………………………………5分
取平面的一个法向量=， ………………………………………6分
．………………………8分
（3）设在上存在点，使得//平面，
平面，
平面平面，则有．
设，，．
又，，解得（舍去）．
，则为的中点．
因此，在上存在点，使得//平面，且点为的中点．……11分
设直线与平面所成角为，
，
根据（2）的计算为平面的一个法向量，
．
因此，直线与平面所成角的正弦值为． ……………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
19.【解析】（1）由，得． ………………………1分
令，则，．
，，（非零常数），
数列是等比数列． ……………………………………………………3分
（2）数列是首项为，公比为的等比数列，
，即． ……………………………4分
当时，
， ………………………………………………6分
满足上式， ． …………………………7分
（3），
当时，． …………………………………………8分
， ①
②
当，即时，①②得：
，
即．　 …………………………11分
而当时，， …………………………12分
当时，．………………………13分
综上所述， ……………………………14分
【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想．
20.【解析】（1）依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，
， ．
又，．
椭圆的方程为． ……………………………………………………4分
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得． …………………………5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：． …………………………7分
设，， …………………………9分
（法一）当时，设直线的倾斜角为，
则，
，
，………11分
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，． ……………………………13分
所以四边形面积的最大值为． ………………………………14分
（法二），
．
．
四边形的面积， …………11分
． ………………………………………………13分
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为． …………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知
识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想．
21.【解析】（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，． ……………………………2分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．…………………5分
因此，实数的取值范围是． ………………………………………6分
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为． ………………………………………10分
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即． ………………………………………………………11分
令，得，
化简得， ………………………………13分
． ………………………14分
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即．
因此，时不等式成立． ………………………………11分
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即，
则当时,，
要证时命题成立，即证，
即证．
在不等式中，令，得
．
时命题也成立． ………………………………………13分
根据数学归纳法，可得不等式对一切成立． …14分
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．