第18章 一元二次方程综合测试卷(一)
时间：90分钟 满分：120分
选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解方程 x ＋4x ＋1＝0时，配方后方程可是 ( )
A.( x ＋2)2＝3 B.( x －2)2＝3 C.( x －2)2＝5 D.( x ＋2)2＝5
已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为
（ ）
A．b=-1，c = -2 B．b =1，c = -2 C．b=1，c =2 D．b= -1，c =2
4．（2012·湛江）已知1是关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是（ ）
Ａ．1 Ｂ．-1 Ｃ．0 Ｄ．无法确定
5．(2012·南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是 （ ）
A．２ B．－２,１ C．－１ D．２，－１
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范
围是 （ ）
A. B. C. D.
7．关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是 （ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两
个相等的实数根三种
在解一元二次方程时，甲抄错了常数项，因而得出方程的解为1和4，乙抄错了一次项
系数，所得方程的两个根为-1和6，则正确的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
9．2012年8月，我市某中学为迎接“建校80周年”而组织了系列活动，其中活动之一就
是班级篮球友谊赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），已知共进行了21场比
赛，请你帮助算一算共有（ ）支球队参加了比赛．
A．5 B．6 C．7 D．8
如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置
相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9
个数中，最大数与最小数的积为192， 则这9个数的和为 （ ）
A．32 B．126 C．135 D．144
二、解答题（每题3分，共30分）
11．把一元二次方程2x（x－1）=（x－3)+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分
别是_____________.
12．（2012·滨州）方程的根是 ．
13．若方程，则=______.
14. （2012·上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0( c 是常 数 )没有实数根 , 那么 c的取值范围是 .
若长方形的长和宽是方程 的两个根，则矩形的周长是 ，
面积是 .
16．（2012·张家界）已知的两根，则 。
17． 如果关于x的一元二次方程x2+4x + a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0，
那么a = _.
为了落实房地产调控政策上，某县加快了经济适用房的建设力度，2011年该县政府在
这项建设中已投资3亿元 ，预计2013年投资5.88亿元，哪么该项投资的年平均增长
率为________.
我市新建成的龙湖公园，休息长廊附近的地面都是用一种长方形的地砖铺设的，如图
所示，测得8块相同的长方形地砖恰好可以拼成面积为2400㎝2的长方形ABCD（如
图）， 则矩形ABCD的周长为 .
设，是方程的两个不相等的实数根，则的值
为 ．
三、解答题（本题共60分）
21．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2012?安徽）x2﹣2x=2x+1． （2）(2012·菏泽)
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+k x－3 = 0．
（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．
24.（10分） 已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
（10分）如图所示，在Rt△ABC中，，， P点在
BC边上，从B点向C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC
边上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s。若点P、Q分别从B、C同
出发，几秒后△PCQ的面积等于8 cm2
26.（14分）（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与
销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出
1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给
销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部 以上，
每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少
部汽车？（盈利=销售利润+返利）
参考答案：
一、选择题
1．D 提示：A中二次项系数为0时，就不是二元一次方程；B化简后为一元一次方程；C不是整式方程。
2．A 提示：配方时方程两边要同加上3，即( x ＋2)2＝3.
3．A 提示：根据根与系数关系可得，
4．B 提示：把m=1代入方程，的m-1+1+1=0，解得m= -1
5．D 提示：利用因式分解法求解，原方程可变为(x-2)(x+1)=0，所以。
6．C 提示：方程有两个不相等的实数根，所以△>0且a-1≠0。
7．B 提示：△=，因为，所以。
8．A 提示：甲抄错了常数项，那么两根之积是错的，但是两根之和是对的 1+4=5， 乙抄错了一次项系数，那么两根之和是错的，但是两根之积是对的-1×6=-6，所以方程为。
9．C 提示：设有x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，，解得x=7或-6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．
10．D 提示： 设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24，
（不合题意舍去）。故这9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24。
二、填空题
11．2，-3x 提示：方程化简为，所以二次项系数为2，一次项为-3x。
12．0 3 提示：利用因式分解法求解
13． 1 提示：利用因式分解分法易求出方程的根为，所以
14．c＞9 提示：一元二次方程没有实数根 ,则△<0，即，所以c＞9
15．8和3 提示：周长C=2()=8，面积S==3
16． 提示：
17．-3 提示：x1x2-2x1-2x2-5=0，x1x2-2（x1+x2）-5=0，即a+8-5=0，所以a=-3.
18．40% 提示：设该项投资的年平均增长率为x，则由题意得，解得x=0.4 ，即平均增长率为40%。
19．200㎝ 提示：设地砖的宽为x厘米，则右图知长为3 x厘米。因每块砖的面积
为： ，则有，解得x=10㎝,
所以矩形的周长为（60+40）×2=200㎝.
20．2012 提示：因为，是方程的两个不相等的实数根，故由根
与系数的关系可得+=-1 ①，由根的定义得, 即 ②．再由①+②得 ．
三、解答题
21．答案：（1）x1=2+ ，x2=2﹣． （2），
22．（1）∵当m=3时，△=b2-4ac = 22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；
（2）当m =-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x -1）（x+3）=0，
∴ x-1=0，x+3=0 ， ∴x1=1，x2=-3．．
23．（1）证明：∵a =1，b=k， c =-3， ∴ △=k2-4×1×（-3）=k 2+12，
∵不论k为何实数，k2≥0，∴k 2+12＞0，即△＞0，因此，不论k为何实数，
方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k=2时，原一元二次方程即x2+2x-3=0，∴x2+2x+1=4，∴（x+1）2=4，∴x+1=2
或x+1=-2，∴此时方程的根为x1=1，x2=-3．
解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2 （m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1。
解：设x秒后△PCQ的面积等于8 cm2，由题意得：，即，
解这个方程得，经检验均符合题意。所以2秒或4秒后△PCQ的面积等
于8 cm2.
解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8，
（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元），
当0≤x≤10，根据题意，得x?（0.1x+0.9）+0.5x=12，
整理，得x2+14x－120=0，
解这个方程，得x1= -20（不合题意，舍去），x2=6，
当x＞10时，
根据题意，得x?（0.1x+0.9）+x=12，
整理，得x2+19x-120=0，
解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，
因为5＜10，所以x2=5舍去，
答：需要售出6部汽车．
第18章 一元二次方程综合测试卷（三）
（时间：90分钟 满分：120分）
一、精挑细选，一锤定音(每小题3分，共30分)
1．若方程是关于x的一元二次方程，则 （ ）．
A． B．=2
C． —2 D．
2．若代数式与的值相等，则的值为 （ ）．
A． B．
C． D．或
3．解方程的适当方法是 （ ）．
A．开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
4．下列方程中，有两个相等实数根的是 （ ）．
A． B．
C． D．
5．已知、满足且，则以、为根的一元二次方程为 （ ）．
A． B．
C． D．
6．（2010年日照市）如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么的值分别是 （ ）．
A．—3，2 B．3，—2
C．2，—3 D．2，3
7．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足．则k的值为 （ ）．
A．－1或 B．－1
C． D．不存在
8．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为 （ ）．
A． B．
C． D．
9．若无论取何值，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是
（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知方程，那么它的两根分别是 （ ）．
A．2010，2011 B．－2010，2011
C．－2010，－2011 D．2010，－2011
二、慎思妙解，画龙点睛(每小题3分，共24分)
11．把方程（）（）=整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12．代数式的值为0，则的取值为 ．
13．关于的方程的两个根互为相反数，则的值是 ．
14．如果方程有且只有一个正根，那么的值是 ．
15．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________.
16．已知，则 .
17．如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．若设花边的宽为米，则可列方程为 了 ．
18．若的两边AB，AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5，若是等腰三角形，则该三角形的周长为 ．
三、过关斩将，胜利在望(共66分)
19．（12分）用适当的方法解下列方程
（1） （2）
20．（8分）在实数范围内定义一种运算“*”，其法则为：，求方程的解．
21．（10分）如图2，在△ABC中，∠B＝900，AB=6cm，BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？
22．（10分）已知关于的一元二次方程．
(1)请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
23．（12分）“勤劳”是中华民族的传统美德，假期学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务．今小明为家庭设计如图3所示面积为125的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长是18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，请同学们帮助小明求鸡场的长与宽各为多少？
24．（14分）为何值时，方程组
（1）有两组不相等的实数解；（2）有相同的两组实数解；（3）无实数解
1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 9．C
10．B 11． 2 0 —7 12．3 13．—3 14．
15．3或—5 16．3 17． 18．14或16
19．（1） （2）
20．因为方程可变形为：，解这个方程，得．
21．设秒后△PBQ的面积等于8平方厘米，则，解得．
所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8平方厘米．
22．（1）因为，解得，所以只要取小于5的整数取可，如4、3等；
（2）当时，方程为，所以
．
23．设鸡场的长为m，宽为，则，解这个方程，得．
又因为不合题意，应舍去，所以．
答：鸡舍的长和宽分别为10m,12.5m．
24.原方程组可变形为：，
即．因为：
所以（1）当，即当时，方程组有两组不相等的实数解；（2）当，即当时，方程组有两组相同的实数解；（3）当，即当时，方程组无实数解．
第18章 一元二次方程综合测试题（二）
时间：90分钟 满分：120分
一、精挑细选，一锤定音(每小题3分，共30分)
1．下列方程是关于的一元二次方程的是 （ ）．
A． B．
C． D．
2．方程的解是 （ ）．
A． B．或
C． D．或
3．方程的根的情况是 （ ）．
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关
4．以3和为两根的一元二次方程是 （ ）．
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程时，原方程为时，原方程应变形为 （ ）．
A． B．
C． D．
6．已知代数式的值为2，则代数式的值为 （ ）．
A． B．2
C．或2 D．3
7．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ）．
A． B．1
C． D．
8．若一元二次方程的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关系应当是 ( ）．
A．3b2＝8ac B．
C．6b2＝25ac D．不能确定
9．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是 （ ）．
A． B．
C． D．
10．（2010年毕节市）已知方程的一个根是（），则下列代数式的值恒为常数的是 （ ）．
A． B．
C． D．
二、慎思妙解，画龙点睛(每小题3分，共24分)
11．关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程为一元一次方程．
12． = ； +=（ ．
13．一元二次方程有一个根1，那么 ，如果=0，那么 ．
14．如果方程有两个不等实数根，则实数的取值范围为 ．
15．（2010年鄂州市）已知是一元二次方程的两实数根，则代数式= ．
16．如果把一元二次方程?x2–3x–1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，
那么这个新一元二次方程是 ．
17．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是 ．
18．（2010年大连市） 如图1是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为 ．
三、过关斩将，胜利在望(共66分)
19．（12分）用适当的方法解下列方程
（1） （2）
20．（8分）已知、b、c均为实数，且，求方程的根．
21．（8分）试证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
22．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
23．（12分）如图2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm,动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．
（1）P，Q两点出发多长时间，梯形PBCQ的面积为？
（2）P，Q两点出发多长时间，点P和点Q的距离是10cm ?
24．（14分）设、是关于的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 9．D
10．D 11． 12．25 5 13．0
14．且 15． 16． 17．12
18．
19．（1） （2）
20．∵，∴．原方程为，∴
21．∵
又∵，∴．即方程总有两个不相等的实数根．
22．设每件衬衫应降价元，则，解这个方程组，得 ，又由于不合题意，应舍去，所以
答：每件衬衫应降价30元，商场才能平均每天盈利2 100元．
23．（1）设P，Q两点出发s时，梯形PBCQ的面积为，则，解得，所以P，Q两点出发5s时，梯形PBCQ的面积为；
（2）设P，Q两点出发s时，点P和点Q的距离是10cm ，由题意，得
，解，得，，所以P，Q两点出发s或s时,点P和点Q的距离是10cm．
24．由题意，得，所以．
因为
，所以当时，值最小，最小值为．
