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高中数学人教A版（2019） 必修二 第七章 复数
一、单选题
1．（2022·湖州模拟）已知i是虚数单位，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B．1 C． D．-1
3．（2022·连云模拟）已知，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·聊城模拟）复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2022·陕西模拟）已知复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2022高一下·邢台月考）已知是关于x的方程的一个根，其中，则（ ）
A．18 B．16 C．9 D．8
7．（2022·平凉模拟）在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（ ）
A．2i B．-2i C．2 D．-2
8．（2022高一下·广东月考）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·茂名模拟）已知复数z的共轭复数为，若，则（ ）
A．z的实部是1 B．z的虚部是
C． D．
10．（2022高一下·广东月考）已知复数满足，则（ ）
A．z的虚部为1 B． C． D．
11．（2022·湖北模拟）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程，它的两个虚数根分别为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021高三上·高邮月考）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z模为
D．复数z在复平面内对应的点在第二象限.
三、填空题
13．（2022高一下·邢台月考）写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数 ．
14．（2022高一下·广东月考）已知复数满足，是纯虚数，则的共轭复数 .
15．计算： .
16．（2022·广东模拟）设，复数，，若是纯虚数，则 ．
四、解答题
17．（2022高一下·广东月考）已知关于x的方程有实数根.
（1）求实数a的值；
（2）设，求的值.
18．（2022高一下·邢台月考）已知复数，其中．
（1）若为实数，求的值；
（2）若为纯虚数，求的虚部．
19．（2022高二下·洛阳月考）已知复数．
（1）若z是纯虚数，求；
（2）若，求a，b的值．
20．（2022高三上·贵州月考）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
21．（2021高二上·重庆月考）已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
22．（2021高二下·东莞期末）已知复数 ， .
（1）当 ， ， ， 时，求 ， ， ；
（2）根据（1）的计算结果猜想 与 的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】直接利用复数的四则运算，化简求值即可.
2．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求出答案。
3．【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得，
所以复数的共轭复数是，
故答案为：C
【分析】由复数的乘除运算，即可求解。
4．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】将化为，利用复数的四则运算以及模长公式求解可得答案。
5．【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】令，则，且，
所以，则，
所以，可得，即，
所以.
故答案为：C
【分析】 先由复数的运算求复数z，再由复数模的运算求解即可.
6．【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意得，化简得，
所以解得所以．
故答案为：A
【分析】 由 是关于x的方程的一个根，其中m,n∈R，把代入方程化简整理，利用复数相等求出m、n的值，即可求出答案.
7．【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可知，，
所以，
则复数的虚部为-2.
故答案为：D
【分析】由复数的四则运算及复数概念即可求解。
8．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以解得.
故答案为：A．
【分析】首先由复数的几何意义，结合已知条件即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
9．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为
，所以
，所以
，
，
的实部为1，虚部为-1；
故答案为：AC
【分析】由复数得四则运算，共轭复数得概念，模长公式即可求解。
10．【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，解得.故的虚部为，，，.
故答案为：BCD、
【分析】首先由复数的运算性质整理化简，再由复数以及共轭复数的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】C,D
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】对于方程
，移项因式分解可得：
为实数根，
要求虚数根，解方程
即可，解得
.
故答案为：CD.
【分析】根据已知条件，x = 1或
解出x的复数根，即可求解得答案.
12．【答案】C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以复数z 的虚部为 ,复数 的共轭复数为 ,A，B选项错误；
复数z 模为 ,复数 在复平面内对应的点 在第二象限，CD选项正确.
故答案为：CD
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐项分析，可得答案.
13．【答案】（答案不唯一）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】若，只需即可，显然符合要求．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解出答案.
14．【答案】2+2i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设，a，，由，得.
因为为纯虚数，
所以，解得，
所以.故.
故答案为：2+2i
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
15．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】根据复数的乘除运算法则及模的公式即可求出答案。
16．【答案】
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
,
因为
是纯虚数,故
，解得
，
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
17．【答案】（1）解：由，整理得，
则，解得.
所以实数a的值为.
（2）解：由（1）可得.
.
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知条件由复数相等的定义，得出方程组求解出x和a的值。
(2)由复数的运算性质整理化简计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由实数定义可知：，解得：；
（2）解：由纯虚数定义知：，解得：，；
，的虚部为8.
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解出 的值；
(2)根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解出 的虚部．
19．【答案】（1）解：因为是纯虚数，
所以解得．
所以，则．
（2）解：由，得，
代入，
得，
即．
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出m的值，从而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
（2）利用m的值求出复数z,再结合复数的运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a,b的值。
20．【答案】（1）因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
（2）因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的混合运算即可求出复数z；
（2）由已知可得 ， 求解不等式组即可求出实数m的取值范围.
21．【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。
22．【答案】（1）由题知 ， ，.
，.
所以 .
（2）猜想 ，.
证明：因为 ， ，.
所以 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 成立.
（3） 或 或 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)把a= 1,b=-1,c= 1,d= 2代入，利用复数模的计算公式求 ， ，利用复数代数形式的乘除运算求 ,再由复数模的计算公式求 ；
(2)直接求 与 ，即可得结论；
(3)类比(2)中的结论,可得复数商的模等于模的商(或三个及三个以上复数乘积的模等于模的乘积)。
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高中数学人教A版（2019） 必修二 第七章 复数
一、单选题
1．（2022·湖州模拟）已知i是虚数单位，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】直接利用复数的四则运算，化简求值即可.
2．（ ）
A． B．1 C． D．-1
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求出答案。
3．（2022·连云模拟）已知，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得，
所以复数的共轭复数是，
故答案为：C
【分析】由复数的乘除运算，即可求解。
4．（2022·聊城模拟）复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】将化为，利用复数的四则运算以及模长公式求解可得答案。
5．（2022·陕西模拟）已知复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】令，则，且，
所以，则，
所以，可得，即，
所以.
故答案为：C
【分析】 先由复数的运算求复数z，再由复数模的运算求解即可.
6．（2022高一下·邢台月考）已知是关于x的方程的一个根，其中，则（ ）
A．18 B．16 C．9 D．8
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意得，化简得，
所以解得所以．
故答案为：A
【分析】 由 是关于x的方程的一个根，其中m,n∈R，把代入方程化简整理，利用复数相等求出m、n的值，即可求出答案.
7．（2022·平凉模拟）在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（ ）
A．2i B．-2i C．2 D．-2
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可知，，
所以，
则复数的虚部为-2.
故答案为：D
【分析】由复数的四则运算及复数概念即可求解。
8．（2022高一下·广东月考）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以解得.
故答案为：A．
【分析】首先由复数的几何意义，结合已知条件即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
二、多选题
9．（2022·茂名模拟）已知复数z的共轭复数为，若，则（ ）
A．z的实部是1 B．z的虚部是
C． D．
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为
，所以
，所以
，
，
的实部为1，虚部为-1；
故答案为：AC
【分析】由复数得四则运算，共轭复数得概念，模长公式即可求解。
10．（2022高一下·广东月考）已知复数满足，则（ ）
A．z的虚部为1 B． C． D．
【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，解得.故的虚部为，，，.
故答案为：BCD、
【分析】首先由复数的运算性质整理化简，再由复数以及共轭复数的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022·湖北模拟）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程，它的两个虚数根分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】对于方程
，移项因式分解可得：
为实数根，
要求虚数根，解方程
即可，解得
.
故答案为：CD.
【分析】根据已知条件，x = 1或
解出x的复数根，即可求解得答案.
12．（2021高三上·高邮月考）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z模为
D．复数z在复平面内对应的点在第二象限.
【答案】C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以复数z 的虚部为 ,复数 的共轭复数为 ,A，B选项错误；
复数z 模为 ,复数 在复平面内对应的点 在第二象限，CD选项正确.
故答案为：CD
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐项分析，可得答案.
三、填空题
13．（2022高一下·邢台月考）写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数 ．
【答案】（答案不唯一）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】若，只需即可，显然符合要求．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解出答案.
14．（2022高一下·广东月考）已知复数满足，是纯虚数，则的共轭复数 .
【答案】2+2i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设，a，，由，得.
因为为纯虚数，
所以，解得，
所以.故.
故答案为：2+2i
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
15．计算： .
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】根据复数的乘除运算法则及模的公式即可求出答案。
16．（2022·广东模拟）设，复数，，若是纯虚数，则 ．
【答案】
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
,
因为
是纯虚数,故
，解得
，
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
四、解答题
17．（2022高一下·广东月考）已知关于x的方程有实数根.
（1）求实数a的值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）解：由，整理得，
则，解得.
所以实数a的值为.
（2）解：由（1）可得.
.
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知条件由复数相等的定义，得出方程组求解出x和a的值。
(2)由复数的运算性质整理化简计算出结果即可。
18．（2022高一下·邢台月考）已知复数，其中．
（1）若为实数，求的值；
（2）若为纯虚数，求的虚部．
【答案】（1）解：由实数定义可知：，解得：；
（2）解：由纯虚数定义知：，解得：，；
，的虚部为8.
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解出 的值；
(2)根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解出 的虚部．
19．（2022高二下·洛阳月考）已知复数．
（1）若z是纯虚数，求；
（2）若，求a，b的值．
【答案】（1）解：因为是纯虚数，
所以解得．
所以，则．
（2）解：由，得，
代入，
得，
即．
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出m的值，从而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
（2）利用m的值求出复数z,再结合复数的运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a,b的值。
20．（2022高三上·贵州月考）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
（2）因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的混合运算即可求出复数z；
（2）由已知可得 ， 求解不等式组即可求出实数m的取值范围.
21．（2021高二上·重庆月考）已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。
22．（2021高二下·东莞期末）已知复数 ， .
（1）当 ， ， ， 时，求 ， ， ；
（2）根据（1）的计算结果猜想 与 的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）.
【答案】（1）由题知 ， ，.
，.
所以 .
（2）猜想 ，.
证明：因为 ， ，.
所以 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 成立.
（3） 或 或 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)把a= 1,b=-1,c= 1,d= 2代入，利用复数模的计算公式求 ， ，利用复数代数形式的乘除运算求 ,再由复数模的计算公式求 ；
(2)直接求 与 ，即可得结论；
(3)类比(2)中的结论,可得复数商的模等于模的商(或三个及三个以上复数乘积的模等于模的乘积)。
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