【解析】上海市徐汇区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （文）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组的增广矩阵是__________________.
【答案】
【21世纪教育网解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为。
2. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】设幂函数为，则由得，即，所以，，所以。
3．（文）若，则___________.
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以。
4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .
【答案】8
【21世纪教育网解析】抛物线的焦点坐标为，在双曲线中，所以，所以，即双曲线的右焦点为，所以。
5．函数的部分图像如右图所示，则 _________.
【答案】 21世纪教育网
【21世纪教育网解析】由图象可知,即周期,由得，，所以，有得，，即，所以，所以，因为，所以，所以。
6．（文）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角的大小为_________________.
(结果用反三角函数值表示)
【答案】
【21世纪教育网解析】因为是直线的一个方向向量，即直线的斜率，所以，所以，即直线的倾斜角为。
7．（文）不等式的解为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】由行列式的定义可知不等式为，整理得，解得，或（舍去），所以。
8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)
【答案】
【21世纪教育网解析】3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。
9．如图所示的程序框图，输出的结果是_________.
【答案】1
【21世纪教育网解析】由程序框图可知，所以 。
10．（文）数列的通项公式，前项和为，则=_____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，所以。
11.（文）边长为1的正方形中，为的中点，在线段上运动，则的取值范围是____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】将正方形放入直角坐标系中，则设,.则,所以,所以，因为，所以，即的取值范围是。
12．（文）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围是______________.
【答案】 [来源:21世纪教育网]
【21世纪教育网解析】由得，即，解得或。即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是。
13．（文）若平面向量满足 且,则的最大值为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，所以，设，因为，，所以，因为，所以当时，有最大值，所以的最大值为。
14．已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.
【答案】5
【21世纪教育网解析】记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有10的是1+2+3+…+10=55号．所以55除以20的余数为15，此时点数到了5，,此时数为5。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列排列数中，等于的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【21世纪教育网解析】根据排列公式可知,选C.
16．在中，“”是“”的 （ ）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件21世纪教育网
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】B
【21世纪教育网解析】由得，即，所以或，即，或，即，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.
17．若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【21世纪教育网解析】函数的导数为，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即恒成立，所以，选A.
18．（文）对于直角坐标平面内的点（不是原点），的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ） [来源:21世纪教育网]
(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆
(C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆
【答案】A
【21世纪教育网解析】因为,所以为定值，所以B的轨迹时以半径为的圆，所以选A.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
已知集合，实数使得集合满足，
求的取值范围.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数=.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；21世纪教育网
(2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).
当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；
(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.21世纪教育网
(精确到1cm).
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
（文）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的面积；
(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.
21世纪教育网
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.
(1) 若成等比数列,求的值；
(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？
参考答案
填空题：（每题4分）
1. 2. 3.（文） 4. 8
5. 2sin 6.（文） arctan2 7.文）x0
8. 9. 1 10.（文）
11. （文） 12.文）0选择题：（每题5分）
15. C 16. B 17.A 18.文）A
解答题
19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分
a5时，B=，满足AB；…………………………………..6分
a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分21世纪教育网
综上，得实数a的取值范围为a4. ……………………………………………..12分
20. 解：(1)f(x)的定义域为……………………………………………..2分
f (-x)=log2=log2=-f(x)，
所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分21世纪教育网
(2)由y=，得x=,
所以，f -1(x)= ,x0. ……………………………………..9分
因为函数有零点，
所以，应在的值域内.
所以，log2k==1+, ………………….13分
从而，k. ……………………………………………..14分
21．（文）解：(1) 当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………………………..2分
故|OB|=. .…………………………………………………………………..4分
所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40， …………………………..6分
此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证. …..8分
(2)只要d40， …………………………………………………………..12分
即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm. …..14分
22．（文）解:(1)由，得 ……………………………………………………………..2分
a2=2,b2=1,
所以，椭圆方程为. …………………………………………………..4分
(2)设PQ:y=x-1，由得3y2+2y-1=0, …………………..6分
解得： P(),Q(0,-1)，由条件可知点,
=|FT||y1-y2|=. ….. ……………………………………10分
(3) 判断：与共线. ….. …….. …….. ………………………………………11分
设[来源:21世纪教育网]
则(x1,-y1)，=(x2-x1,y2+y1)，=(x2-2,y2), ……………………………..12分
由得. ………………………..13分
(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)=(x2-x1)k(x2-1)-(x2-2)(kx1-k+kx2-k)
=3k(x1+x2)-2kx1x2-4k=3k-2k-4k
=k()=0. …………………………..15分
所以，与共线. ………………………………………………………..16分
23．（文）解:(1)由a32=a1a5， ………………………………………………………………………..2分
即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. ……………………………………………..4分
(2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列. ……………………..7分
因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M, …………………..9分
这里M=+3+…+3n-2为正整数，
所以,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证. ……………….11分
(注：bn的通项公式不唯一)
(3) 该命题为假命题. …………………………………………………….12分
由已知可得,
因此,,又,
故 , …………..15分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，> ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分