【解析】上海市徐汇区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组的增广矩阵是__________________.
【答案】
【21世纪教育网解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为。
2. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】设幂函数为，则由得，即，所以，，所以。
3．（理）若为第四象限角，且，则___________.
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，因为为第四象限角，所以，所以。
4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .
【答案】8
【21世纪教育网解析】抛物线的焦点坐标为，在双曲线中，所以，所以，即双曲线的右焦点为，所以。
5．函数的部分图像如右图所示，则 _________.
【答案】
【21世纪教育网解析】由图象可知,即周期,由得，，所以，有得，，即，所以，所以，因为，所以，所以。
6．（理）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角的大小为_________________.
(结果用反三角函数值表示)
【答案】
【21世纪教育网解析】因为是直线的一个法向，所以是直线的一个方向向量，即直线的斜率，所以，所以，即直线的倾斜角为。
7．（理）不等式的解为 .
【答案】[来源:21世纪教育网]
【21世纪教育网解析】由行列式的定义可知不等式为，整理得，解得，所以。
8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)
【答案】
【21世纪教育网解析】3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。
9．如图所示的程序框图，输出的结果是_________.
【答案】1
【21世纪教育网解析】由程序框图可知，所以 。[来源:21世纪教育网]
10．（理）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是 .
【答案】
【21世纪教育网解析】若，则，，所以，所以，满足条件，所以。若，则， ，所以，所以，若，，不满足条件。若，满足条件，所以公比的取值范围为。
11. （理）若平面向量满足 且,则可能的值有____________个.
【答案】321世纪教育网
【21世纪教育网解析】因为，所以，所以，设，因为，，所以，因为，
所以当时，，
当，时，
当，时，
当，时，21世纪教育网
综上可能的值有3个。21世纪教育网
12．（理）在中， ，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________.
【答案】
【21世纪教育网解析】由余弦定理得,即，即，解得。所以为直角三角形， .将三角形放入直角坐标系中，由题意可知,所以，因为在线段上运动，设,即，，所以，,所以
,所以当时，的最小值为。
13．（理）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.
【答案】1
【21世纪教育网解析】由得，即，解得或。即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是。不妨设，则由题意可知，所以，由得，所以，因为，所以，即存在最大值，最大值为1.
14．已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，
（理）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.
【答案】5
【21世纪教育网解析】记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有2010的是1+2+3+…+2010=2021055号．考虑为一圆周，则圆周上共18个点，所以2021055除以18的余数为15，此时点数到了,从后往前数数到15时到达,此时数为5。21世纪教育网
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列排列数中，等于的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【21世纪教育网解析】根据排列公式可知,选C.
16．在中，“”是“”的 （ ）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】B
【21世纪教育网解析】由得，即，所以或，即，或，即，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.
17．若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【21世纪教育网解析】函数的导数为，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即恒成立，所以，选A.
18．（理）对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点” （ ）
(A) 一定共线 (B) 一定共圆
(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆
【答案】C
【21世纪教育网解析】若直线经过原点，此时它们的“对偶点”也一定在直线上。若直线不过原点，,设在直线上的垂足为,M的对偶点为,则，又,即,即，所以,所以,所以点位于以为直径的圆上，同理的对偶点也在以为直径的圆上，所以此时共圆，所以选C.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
已知集合，实数使得集合满足，
求的取值范围.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数=.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为 (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路（如图(1)所示，其中()）,且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且,. (其它因素忽略不计)
(1)如图(2)所示，和的延长线交于点，
求证：(cm)；
(2)当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
（理）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点 .
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（理）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此，他任取了其中三项.
(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”，为此，他研究了与的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3) 他又想：在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
参考答案
填空题：（每题4分）
1. 2. 3. （理） 4. 8
5. 2sin 6. （理）arctan 7. （理）x0
8. 9. 1 10. （理）011. （理） 3 12. （理） 13. （理） 1 14. （理） 5
选择题：（每题5分）
15. C 16. B 17.A 18. （理）C
解答题
19. 解：A= (3,4)………………………………………………………………………………..2分
a5时，B=，满足AB；…………………………………..6分
a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分
综上，得实数a的取值范围为a4. ……………………………………………..12分
[来源:21世纪教育网]
20. 解：(1)f(x)的定义域为……………………………………………..2分
f(-x)=log2=log2=-f(x)，
所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分
(2)由y=，得x=,
所以，f -1(x)= ,x0. ……………………………………..9分
因为函数有零点，
所以，应在的值域内.
所以，log2k==1+, ………………….13分
从而，k. ……………………………………………..14分
21．（理）解：(1) 由OE//BC，OH//AB，得∠EOH=，………………………..2分
过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则21世纪教育网
RtOMBRtONB，从而
∠BOM=. ……………………………..4分
在RtOMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=. ………………………………..6分
(2)由(1)结论得OE=.
设OH=x，OF=y,
在OHG中，由余弦定理得,
2802=x2+(+100)2-2x(+100)cos1500 ,
解得x118.8cm. ………………………………………………………………..9分
在OEF中，由余弦定理得,
2802=y2+()2-2y()cos1500 ,
解得y216.5cm. …………………………………………………………..12分
所以，FH=y-x98cm，
即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm. ………………………14分
22．（理）解:(1)由，得…………………………………..2分
a2=2,b2=1
所以，椭圆方程为. ………………………………………..4分
(2)由 ，得(m2+2)y2+2my-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由条件可知，点.
=|FT||y1-y2|==…..6分
令t=，则t，
则==，当且仅当t=，即m=0
(此时PQ垂直于x轴)时等号成立，所以的最大值是. …………..10分
(3) 与共线 ………………………………………………………………..11分
(x1,-y1)，=(x2-x1,y2+y1)，=(x2-2,y2) ……………………………..12分
由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)
=-x1y2-x2y1+2(y1+y2)
=-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2)
=-2my1y2+(y1+y2)
=-2m+
=0，所以，与共线…………………………………………………..16分
（
23．（理）解:(1)由已知可得：, ………..…..1分21世纪教育网
则,即有, ………….…………. …..3分
，化简可得. . …………………………..4分[来源:21世纪教育网]
(2) ,又,
故 ,……………..6分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，> ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分
(3)命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1)，这里M=+d+…+dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕. ……………..18分
证法二：首项为,公差为( )的等差数列为,考虑数列中的项:
依次取数列中项,,
,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列. ...18分