【解析】上海市松江区2013届高三上学期期末质量监控数学文试题

松江区2012学年度第一学期高三期末考试
数学（文科）试卷（一模）
（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．21世纪教育网
1． ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】.
2．已知集合,，若，则 ▲ ．
【答案】4
【21世纪教育网解析】因为，所以或。若，则,，满足。若，则,，不满足，所以。
3．若行列式则 ▲ ．
【答案】2
【21世纪教育网解析】由得，即，所以。
4．若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝ ▲ ．
【答案】1
【21世纪教育网解析】因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以由，即，所以，所以。
5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．
【答案】20
【21世纪教育网解析】设样本中松树苗的数量为，则有，解得。
6．己知，，且，则 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，即，所以。
7．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。
8．已知，则的最小值为 ▲ ．
【答案】2
【21世纪教育网解析】由得且，即。所以，所以的最小值为2.
9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】等比数列的通项公式为，由，所以为偶数，即为奇数，所以，解得，即，所以共有8个，所以从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是。
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，若，且，则△ABC的面积等于 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，所以，所以，所以。
11．若二项式展开式中项的系数是7，则= ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】二项展开式的通项为，令得，，所以，所以的系数为，所以。所以。
12．给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）
【答案】③
【21世纪教育网解析】由得，所以函数为奇函数。对任意实数及任意正数由可知，函数为增函数。①为奇函数，但在上不单调。②为偶函数。，③满足条件。④为奇函数，但在在上不单调。所以满足条件的函数的序号为③。
13．在平面直角坐标系中，定义为,两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】设,直线与坐标轴的交点坐标为，直线的斜率为。过P做于,则原点与直线上一点的“折线距离”为,因为为等腰三角形，所以,由图象可知，此时在的内部，所以原点与直线上一点的“折线距离”的最小距离为。
14.某同学对函数进行研究后，得出以下结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数，均成立；
③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.
其中所有正确结论的序号是 ▲ ．21世纪教育网21世纪教育网
【答案】①②④
【21世纪教育网解析】①，所以函数是偶函数，所以关于轴对称，所以①正确。②，所以②正确。③由，得或，所以,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。④由，即，因为，所以，所以必有，所以函数的图像与直线有且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．过点且与直线平行的直线方程是
A．　　 B．　　 　
C．　 D．
【答案】D
【21世纪教育网解析】设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.
16．对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为21世纪教育网
A．0个　　 B．1个　　 C．2个　 D．4个
【答案】C
【21世纪教育网解析】当时，不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知，若 ，则”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C.
17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【21世纪教育网解析】若，则，由，得或。若，则，由，得。若，则，由，解得（舍去）。所以满足输出值和输入值相同的有3个，选C.
18．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【21世纪教育网解析】由得，所以函数的周期是4，又函数为偶函数，所以，即函数关于对称。且。由得，令
，做出函数的图象如图，由图象可知，要使方程恰有3个不同的实数根，则有，即，所以，即，解得，所以选D.
三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
已知，，其中.设函数，求的最小正周期、最大值和最小值．
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20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
已知，且满足．
（1）求；
（2）若，，求证：．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．
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22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，过点且与的伴随曲线相切的直线交曲线于、两点，求的面积（为坐标原点）
（3）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意，都有成立，求的值．
（3）在数列中，，且满足，求下表中前行所有数的和.

……
…… ……
松江区2012学年度第一学期高三期末考试
数学（文科）试卷参考答案
2013.1
1． 2． 4
3． 2 4． 1
5． 20 6．
7． 8．2
9． 10．
11． 12．③
13． 14． ①②④
15．D 16． C 17．C 18．D
19．解：由题意知 ……………………… 3分

………………………………… 6分
∴最小正周期 ………………………… 8分
当，即时，…………………10分
当，即时，…………12分
20．解：（1）设，则， ………… 2分
由
得 ……………………………4分
解得 或 ……………………………… 5分
∴或……………………………… 7分
（2）当时，
…………………… 10分
当时，
……………………… 13分[来源:21世纪教育网]
∴ ……………………………… 14分
21．解：（1）由题意：当时，； …………………………2分
当时，设，显然在是减函数，
由已知得，解得 …………………………4分
故函数
= …………………………6分
（2）依题意并由（1）可得 ……8分
当时，为增函数，故； ……………10分
当时，，
． ……………………………12分
所以，当时，的最大值为．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．
……………………………14分
22．解：（1）∵， ………………………1分
由，得，即
可得 ………………………3分
∴的渐近线方程为 ………………………4分
（2）双曲线的伴随曲线的方程为，设直线的方程为，由与圆相切知 即
解得 ……………………………6分
当时，设、的坐标分别为、
由 得，即，
∵，= ∴[来源:21世纪教育网]
∴ ………………………8分
∴
由对称性知，当时，也有 …………………………10分
（3）设，，又、，
∴直线的方程为…………①
直线的方程为…………② …………………………12分
由①②得 ……………………………………14分
∵ 在双曲线上
∴ ∴ ……………………………………16分
23．解：（1）∵是递增的等差数列，设公差为 ……………………1分
、、成等比数列，∴ ……………………2分[来源:21世纪教育网]
由 及得 ……………………………3分
∴ ……………………………4分
（2）∵， 对都成立
当时，得 ……………………………5分
当时，由①，及②
①－②得，得 …………………7分
∴ …………………8分
∴ ……………10分
(3)∵ ∴
又∵ ∴ ………………………………13分
∵ ………………………………14分
∴第行各数之和
…………16分
∴表中前行所有数的和
……………………………18分