【解析】上海市松江区2013届高三上学期期末质量监控数学理试题

松江区2012学年度第一学期高三期末考试
数学（理科）试卷（一模）
（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合,，若，则 ▲ ．
【答案】4
【21世纪教育网解析】因为，所以或。若，则,，满足。若，则,，不满足，所以。
2．若行列式，则 ▲ ．
【答案】2
【21世纪教育网解析】由得，即，所以。
3．若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝ ▲ ．
【答案】1
【21世纪教育网解析】因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以由，即，所以，所以。
4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．
【答案】20
【21世纪教育网解析】设样本中松树苗的数量为，则有，解得。
5．已知数列的前项和，则 ▲ ．
【答案】5
【21世纪教育网解析】因为，所以。
6．己知，，且，则 ▲ ．．[21世纪教育网]
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，所以，即，所以。
7．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲
【答案】
【21世纪教育网解析】由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。
8．已知，则的最小值为 ▲ ．
【答案】2
【21世纪教育网解析】由得且，即。所以，所以的最小值为2.
9．在△ABC中，角所对的边分别是，若，且，
则△ABC的面积等于 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，所以，所以，所以。
10．若二项式展开式中项的系数是7，则= ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】二项展开式的通项为，令得，，所以，所以的系数为，所以。所以。
11．给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）
【答案】③
【21世纪教育网解析】由得，所以函数为奇函数。对任意实数及任意正数由可知，函数为增函数。①为奇函数，但在上不单调。②为偶函数。，③满足条件。④为奇函数，但在在上不单调。所以满足条件的函数的序号为③。
12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为，且，若，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，
则的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，
甲乙出现的结果共有10×10=100，
所以他们”心有灵犀”的概率为P==．
13．已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【21世纪教育网解析】因为函数的图像关于点对称，所以，由得，因为函数是定义在上的增函数，所以得，即，配方得，所以圆心为，半径为1，的几何意义为圆上动点到原点距离的平方的最值。圆心到原点的距离为，所以动点到原点的距离的范围是，所以，所以的取值范围是。
14．定义变换将平面内的点变换到平面内的点．
若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和．某同学研究后认为曲线具有如下性质：
①对任意的，曲线都关于原点对称；
②对任意的，曲线恒过点；
③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；
④记矩形的面积为，则
其中所有正确结论的序号是 ▲ ．
【答案】③④
【21世纪教育网解析】设上一点，则该点是由变换来的，所以，即。①因为，所以不可能关于原点对称，所以①错误。②当，则，所以，所以②错误。③因为，所以曲线均在矩形（含边界）的内部，所以③正确。④因为，所以，所以，所以④正确，所以所有正确结论的序号是③④。
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．21世纪教育网
15．过点且与直线平行的直线方程是
A．　　 B．　　 　
C．　 D．
【答案】D
【21世纪教育网解析】设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.
16．对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为
A．0个　　 B．1个　　 C．2个　 D．4个
【答案】C
【21世纪教育网解析】当时，不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知，若 ，则”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C.
17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【21世纪教育网解析】若，则，由，得或。若，则，由，得。若，则，由，解得（舍去）。所以满足输出值和输入值相同的有3个，选C.[来源:21世纪教育网]
18．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【21世纪教育网解析】由得，所以函数的周期是4，又函数为偶函数，所以，即函数关于对称。且。由得，令
，做出函数的图象如图，由图象可知，要使方程恰有3个不同的实数根，则有，即，所以，即，解得，所以选D.
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
已知，，其中.设函数，求的最小正周期、最大值和最小值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
已知，且满足．
（1）求；
（2）若，，求证：．
[来源:21世纪教育网]
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）。
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．
21世纪教育网
21世纪教育网
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意，都有成立，求的值．
（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.
松江区2012学年度第一学期高三期末考试
数学（理科）试卷参考答案
2013.1
1． 4 2． 2
3． 1 4． 20
5． 5 6．
7． 8． 2
9． 10． [来源:21世纪教育网]
11．③ 12． 21世纪教育网
13． 14． ③④
15．D 16． C 17．C 18．D
19．解：由题意知 ……………………… 3分

………………………………… 6分
∴最小正周期 ……………………8分
当，即时，………………10分
当，即时，…………12分
20．解：（1）设，则， …………2分
由
得 ……………………………4分
解得 或 ……………………………… 5分
∴或……………………………… 7分
（2）当时，
…………………… 10分
当时，
………………………13分
∴ ……………………………14分[来源:21世纪教育网]
21．解：（1）由题意：当时，； …………………………2分
当时，设，显然在是减函数，
由已知得，解得 …………………………4分
故函数= …………………………6分
（2）依题意并由（1）可得 ………8分
当时，为增函数，故； …………10分
当时，，
． …………………………12分
所以，当时， 的最大值为．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．
…………………………14分
22．解：（1）∵是递增的等差数列，设公差为 ……………………1分
、、成等比数列，∴ ……………………2分
由 及得 ……………………………3分
∴ ……………………………4分
（2）∵， 对都成立
当时，得 ……………………………5分
当时，由①，及②
①－②得，得 …………7分
∴ ……………8分
∴ …………10分
（3）对于给定的，若存在，使得 ………11分
∵，只需， …………………12分
即，即
即， 取，则 …………………14分
∴对数列中的任意一项，都存在和
使得 ………………………16分
23．解：（1）∵， ………………………1分
由，得，即
可得 ………………………3分
∴的渐近线方程为 ………………………4分
（2）设，，又、，
∴直线的方程为…………①
直线的方程为…………② ……………………6分
由①②得 ………………………………8分
∵ 在双曲线上21世纪教育网
∴ ∴ ………………………………10分
（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，
设、的坐标分别为、 ……………………………11分
则由 得，
即，
当时，
∵
∴， ………………………13分

由 知 ，
∴ …………………………………16分
∵双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，
∴ …………………………………17分
∵
∴对任意的，在伴随曲线上总存在点，
使得………………………………18分