【解析】上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学文试题

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意： 2013.1
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 不等式的解为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，即，所以不等式的解集为。
2. 函数的最小正周期 .
【答案】
【21世纪教育网解析】,所以，即函数的最小周期为。
3. 若集合，集合,,,,，则 .
【答案】
【21世纪教育网解析】由得，即，所以，即，所以。
4. 【文科】正方体中，异面直线与所成的
角的大小为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】连结，,则，所以为直线与平面所成的角，所以设正方体的边长为1，则，所以，所以。
5. 【文科】若函数，则 .
【答案】
【21世纪教育网解析】因为，由得，，即，所以。
6. 若等差数列的前项和为，，，则数列的通项公式
为 .
【答案】（）
【21世纪教育网解析】在等差数列中，设公差为，则由，得，，即，解得，所以。
7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意
取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）. 21世纪教育网
【答案】21世纪教育网
【21世纪教育网解析】从袋中任意取两个球，共有种。若编号为奇数，则有种，所以编号的和是奇数的概率为。
8. 在的二项展开式中，常数项等于 .
【答案】180
【21世纪教育网解析】展开式的通项为。由得，所以常数项为。
9. 若函数（,）的部分图像如右
图，则 . 
【答案】
【21世纪教育网解析】由图象可知，即，所以，即，所以，因为，所以当时，，所以，即。
10. 在中，若,，则 .
【答案】3
【21世纪教育网解析】因为，，所以，即，因为，所以，所以。
11. 【文科】若函数满足，且，则 _.
【答案】
【21世纪教育网解析】令，则，所以由得，即，即数列的公比为2.不设，则有，所以由，即，所以。
12.【文科】若、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 .
【答案】1
【21世纪教育网解析】根据椭圆的方程可知，所以，所以。设，即，所以，所以，因为，所以当时，有最小值，即的最小值为1.
13. 三棱锥中，、、、分别为、、、的中点，则截面将三棱锥分成两部分的体积之比为 .
【答案】
【21世纪教育网解析】因为、、、分别为、、、的中点，所以四边形为平行四边形，平行平面且平行平面，且和到平面的距离相同。每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。如图1中连接DE、DF，VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA：图2中，连接BF、BG，
VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等．
所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1
14. 已知函数，设，若，则的取值范围是 .
【答案】
【21世纪教育网解析】当时，。当时，由得。所以。而，所以，即，所以的取值范围是。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 已知函数()，则“”是“函数在上是增函数”的…………… ………………………（ ）
（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件.
（C）充要条件. （D）非充分非必要条件.
【答案】B
【21世纪教育网解析】若函数在上是增函数，则成立。当时，函数在上不一定是增函数，所以“”是“函数在上是增函数”的必要非充分条件，选B.
16. 【文科】双曲线（）的焦点坐标为…… ……（ ）
（A）. （B）.（C）. （D）.
【答案】B
【Ks5U解析】因为，所以，，即为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，即，所以焦点坐标为，选B.
17. 已知,,若，则的值不可能是… ………（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
【答案】D
【21世纪教育网解析】若，则，若，则，因为，所以，所以的值不可能是10，选D.
18. 如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断
正确的是……… ………………………………………（ ）
（A）满足的点必为的中点.
（B）满足的点有且只有一个.21世纪教育网
（C）的最大值为3.
（D）的最小值不存在.
【答案】 C
【21世纪教育网解析】当时，，此时位于处，所以（A）错误。当时，此时位于处, 当时，此时位于处,所以满足满足的点有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则,设,则由得，即。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。
若点位于上，此时，，所以。综上，即
的最大值是3，最小值为0.所以选C.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少（结果精确到0.1）？
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，
如果每平方米需要涂胶克，共需胶多少？
20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知动点到点和直线的距离相等.
求动点的轨迹方程；
记点，若，求△的面积.
21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知、、是中、、的对边,,，．
（1）求；
（2）求的值．
22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3
小题满分6分.
【文科】和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.
（1）若函数，，与互为“函数”,
证明：.
（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“ 函数”，并说明理由.
（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.21世纪教育网
23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
【文科】在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中．
（1）求的坐标，并证明点在直线上；
（2）记四边形的面积为，求的表达式；
（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 2. 3. 4.【文科】 5. 6.（） 7. 8.180 9. 10.3 11【文科】 12.1 13. 14.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.21世纪教育网
15.
16.
17.
18.
B
B
D
C
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.【解】（1），，…………2分
，…………2分
…………2分
（2）…………2分
…………2分
1个“浮球”的表面积
2500个“浮球”的表面积的和
所用胶的质量为（克）…………2分
答：这种浮球的体积约为；供需胶克.
20.【解】
（1）由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为
设方程为，其中，即……2分
所以动点的轨迹方程为……2分
（2）过作，垂足为,根据抛物线定义，可得……2分
由于，所以是等腰直角三角形
………2分
其中…………2分
所以…………2分
21.【解】（1）在中，由余弦定理得，…………2分
…………2分
即，，解得…………2分
（2）由得为钝角，所以…………2分
在中， 由正弦定理，得
则…………2分
由于为锐角，则……2分
所以………2分

【文科】22. 【解】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于, 恒成立.即在上恒成立………………2分
化简得………………2分
所以当时，，即…1分
（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的
恒成立.即，对于任意恒成立…2分.
当时，.
不妨取，则，所以………………2分
所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.
（3）由题意得，（且）………2分
变形得，，由于且
，因为，所以，即………2分
此时，集合………2分
23.【解】（1）由得
化简得，，或………2分
解得或，，即集合………2分
(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)
（2）证明：由题意得，（且）………2分
变形得，，由于且
………2分
因为，所以，即………2分
（3）当，则，由于函数在上是偶函数
则[来源:21世纪教育网]
所以当时， ……………2分
由于与函数在集合上“ 互为函数”
所以当，恒成立,
对于任意的()恒成立,
即……………2分
所以,
即
所以,
当（）时,
……………2分
所以当时，
………2分
【文科】23、【解】（1）由已知条件得，,,所以……2分
，则
设，则，
所以；………2分
即满足方程，所以点在直线上. ………1分
（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）
（2）由（1）得
………1分[来源:21世纪教育网]
设，则，
，所以[来源:21世纪教育网]
， 逐差累和得，，
所以………2分
设直线与轴的交点，则
，……2分
（3）由（2），
…2分
于是，， ………2分
数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.……2分